Tentukan nilai limit fungsi berikut. lim x menuju tak

-5

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit fungsi lim x → ∞ [√(x² - 2x - 3) - (x + 4)], kita dapat menggunakan metode mengalikan dengan konjugatnya untuk menghilangkan bentuk tak tentu.

Bentuk awal: ∞ - ∞ (bentuk tak tentu)

Kalikan dengan konjugatnya: [√(x² - 2x - 3) + (x + 4)] / [√(x² - 2x - 3) + (x + 4)]

Limit = lim x→∞ [ (√(x² - 2x - 3) - (x + 4)) * (√(x² - 2x - 3) + (x + 4)) ] / [√(x² - 2x - 3) + (x + 4)]

Dalam pembilang, gunakan rumus (a - b)(a + b) = a² - b²:
Limit = lim x→∞ [ (x² - 2x - 3) - (x + 4)² ] / [√(x² - 2x - 3) + (x + 4)]

Jabarkan (x + 4)²:
(x + 4)² = x² + 8x + 16

Substitusikan kembali ke pembilang:
Limit = lim x→∞ [ (x² - 2x - 3) - (x² + 8x + 16) ] / [√(x² - 2x - 3) + (x + 4)]

Sederhanakan pembilang:
Limit = lim x→∞ [ x² - 2x - 3 - x² - 8x - 16 ] / [√(x² - 2x - 3) + (x + 4)]
Limit = lim x→∞ [ -10x - 19 ] / [√(x² - 2x - 3) + (x + 4)]

Untuk menyelesaikan limit saat x menuju tak hingga, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu x (karena di bawah akar, x² menjadi x).

√(x² - 2x - 3) = √(x²(1 - 2/x - 3/x²)) = |x|√(1 - 2/x - 3/x²). Karena x → ∞, maka |x| = x.

Limit = lim x→∞ [ (-10x/x) - (19/x) ] / [ (x√(1 - 2/x - 3/x²))/x + (x/x) + (4/x) ]
Limit = lim x→∞ [ -10 - 19/x ] / [ √(1 - 2/x - 3/x²) + 1 + 4/x ]

Saat x → ∞, suku-suku dengan 1/x atau 1/x² akan mendekati 0:
Limit = [ -10 - 0 ] / [ √(1 - 0 - 0) + 1 + 0 ]
Limit = -10 / [ √1 + 1 ]
Limit = -10 / (1 + 1)
Limit = -10 / 2
Limit = -5

Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah -5.