Tentukan nilai limit fungsi dibawah ini!lim a->b (a

Nilai limitnya adalah 3b.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit fungsi lim a->b (a√a - b√b) / (√a - √b), kita dapat menggunakan beberapa metode, termasuk substitusi langsung, faktorisasi, atau aturan L'Hopital jika bentuknya tak tentu.

Bentuk fungsi adalah f(a) = (a√a - b√b) / (√a - √b). Kita ingin mencari nilai limit ketika a mendekati b.

Jika kita substitusikan a = b secara langsung:
(b√b - b√b) / (√b - √b) = 0 / 0
Ini adalah bentuk tak tentu, yang berarti kita perlu menggunakan metode lain.

Metode 1: Manipulasi Aljabar
Kita bisa menulis ulang a√a sebagai a^(3/2) dan √a sebagai a^(1/2).
Fungsi menjadi: (a^(3/2) - b^(3/2)) / (a^(1/2) - b^(1/2))

Kita bisa menggunakan identitas x^n - y^n = (x - y)(x^(n-1) + x^(n-2)y + ... + y^(n-1)).
Atau kita bisa menggunakan faktorisasi selisih pangkat:
Misalkan x = √a dan y = √b. Maka a = x^2 dan b = y^2.
Fungsi menjadi: ((x^2)^(3/2) - (y^2)^(3/2)) / (x - y)
= (x^3 - y^3) / (x - y)

Kita tahu bahwa x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2).
Jadi, fungsi menjadi: [(x - y)(x^2 + xy + y^2)] / (x - y)
= x^2 + xy + y^2

Sekarang, kita substitusikan kembali x = √a dan y = √b:
(√a)^2 + (√a)(√b) + (√b)^2
= a + √(ab) + b

Sekarang kita ambil limit ketika a mendekati b:
lim a->b (a + √(ab) + b)
= b + √(b*b) + b
= b + √b^2 + b
= b + b + b
= 3b

Metode 2: Aturan L'Hopital
Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menurunkan pembilang dan penyebut terhadap a.
Turunan dari pembilang (a√a - b√b) terhadap a adalah:
d/da (a^(3/2) - b^(3/2)) = (3/2)a^(1/2) - 0 = (3/2)√a

Turunan dari penyebut (√a - √b) terhadap a adalah:
d/da (a^(1/2) - b^(1/2)) = (1/2)a^(-1/2) - 0 = 1 / (2√a)

Sekarang kita hitung limit dari rasio turunan tersebut:
lim a->b [(3/2)√a] / [1 / (2√a)]
= lim a->b [(3/2)√a] * [2√a]
= lim a->b 3 * (√a * √a)
= lim a->b 3a

Substitusikan a = b:
3b

Kedua metode memberikan hasil yang sama.

Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah 3b.