Kelas 12mathKalkulus
Volume benda putar jika luas daerah yang dibatasi oleh
Pertanyaan
Volume benda putar jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=\sqrt{x-1}$ dan $y=x^2-2x+1$ diputar terhadap garis $x=2$ sama dengan ... satuan volume.
Solusi
Verified
$\frac{11 \pi}{30}$
Pembahasan
Soal ini berkaitan dengan penghitungan volume benda putar menggunakan metode cakram atau kulit tabung, berdasarkan luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva dan diputar terhadap garis tertentu. Kurva yang diberikan adalah: 1. $y = \sqrt{x-1}$ 2. $y = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ Kita perlu mencari titik potong kedua kurva: $\\sqrt{x-1} = (x-1)^2$ Kuadratkan kedua sisi: $x-1 = (x-1)^4$ $x-1 - (x-1)^4 = 0$ $(x-1)[1 - (x-1)^3] = 0$ Dari sini, kita dapatkan dua kemungkinan: 1. $x-1 = 0 \implies x = 1$. Jika $x=1$, maka $y = \sqrt{1-1} = 0$ dan $y = (1-1)^2 = 0$. Titik potongnya adalah (1, 0). 2. $1 - (x-1)^3 = 0 \implies (x-1)^3 = 1 \implies x-1 = 1 \implies x = 2$. Jika $x=2$, maka $y = \sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1$ dan $y = (2-1)^2 = 1^2 = 1$. Titik potongnya adalah (2, 1). Jadi, daerah dibatasi oleh kedua kurva dari $x=1$ sampai $x=2$. Kita akan menggunakan metode kulit tabung karena diputar terhadap garis vertikal ($x=2$). Volume benda putar dengan metode kulit tabung adalah $V = \int_a^b 2 \pi (radius)(tinggi) dx$. Dalam kasus ini: - Garis putar adalah $x=2$. Jarak dari sumbu putar ke elemen luas (pada $x$) adalah $2-x$. Jadi, radius $= 2-x$. - Tinggi elemen luas adalah selisih antara kurva atas dan kurva bawah. Mari kita cek kurva mana yang di atas antara $x=1$ dan $x=2$. Ambil $x=1.5$: $\sqrt{1.5-1} = \sqrt{0.5} \approx 0.707$, dan $(1.5-1)^2 = (0.5)^2 = 0.25$. Jadi, $y=\sqrt{x-1}$ berada di atas $y=(x-1)^2$. Tinggi $= \sqrt{x-1} - (x-1)^2$. - Batas integrasi adalah dari $x=1$ sampai $x=2$. $V = \int_1^2 2 \pi (2-x)(\sqrt{x-1} - (x-1)^2) dx$ $V = 2 \pi \int_1^2 (2-x)(\sqrt{x-1} - (x-1)^2) dx$ Ini adalah integral yang cukup rumit untuk dihitung secara manual dalam format singkat. Namun, berdasarkan pilihan jawaban yang diberikan, kita bisa mencoba pendekatan atau melihat pola umum soal serupa. Mari kita substitusi $u = x-1$, maka $x = u+1$ dan $dx = du$. Batas integrasi berubah: jika $x=1$, $u=0$; jika $x=2$, $u=1$. Juga, $2-x = 2-(u+1) = 1-u$. $V = 2 \pi \int_0^1 (1-u)(\sqrt{u} - u^2) du$ $V = 2 \pi \int_0^1 (\sqrt{u} - u^2 - u \sqrt{u} + u^3) du$ $V = 2 \pi \int_0^1 (u^{1/2} - u^2 - u^{3/2} + u^3) du$ Sekarang integralkan: $V = 2 \pi \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} - \frac{u^3}{3} - \frac{u^{5/2}}{5/2} + \frac{u^4}{4} \right]_0^1$ $V = 2 \pi \left[ \frac{2}{3}u^{3/2} - \frac{1}{3}u^3 - \frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{1}{4}u^4 \right]_0^1$ Substitusikan batas atas (1) dan batas bawah (0): $V = 2 \pi \left( (\frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{2}{5}(1)^{5/2} + \frac{1}{4}(1)^4) - (0) \right)$ $V = 2 \pi \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - \frac{2}{5} + \frac{1}{4} \right)$ $V = 2 \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{5} + \frac{1}{4} \right)$ Samakan penyebutnya (KPK dari 3, 5, 4 adalah 60): $V = 2 \pi \left( \frac{1 \times 20}{3 \times 20} - \frac{2 \times 12}{5 \times 12} + \frac{1 \times 15}{4 \times 15} \right)$ $V = 2 \pi \left( \frac{20}{60} - \frac{24}{60} + \frac{15}{60} \right)$ $V = 2 \pi \left( \frac{20 - 24 + 15}{60} \right)$ $V = 2 \pi \left( \frac{11}{60} \right)$ $V = \frac{22 \pi}{60}$ $V = \frac{11 \pi}{30}$ **Jawaban Lengkap:** Volume benda putar tersebut adalah $\frac{11 \pi}{30}$ satuan volume.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Aplikasi Integral
Section: Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung
Apakah jawaban ini membantu?