Tentukan nilai limit x mendekati 0 (cos 5x-cos 9x)/(1-cos^2

28

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit x mendekati 0 dari (cos 5x - cos 9x) / (1 - cos^2 x), kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.

Pertama, kita tahu bahwa 1 - cos^2 x = sin^2 x.
Jadi, limitnya menjadi:
lim (x->0) (cos 5x - cos 9x) / sin^2 x

Saat x mendekati 0, baik pembilang maupun penyebut mendekati 0 (bentuk 0/0), sehingga kita bisa menggunakan aturan L'Hopital.

Turunkan pembilang terhadap x:
d/dx (cos 5x - cos 9x) = -5 sin 5x - (-9 sin 9x) = 9 sin 9x - 5 sin 5x

Turunkan penyebut terhadap x:
d/dx (sin^2 x) = 2 sin x cos x = sin 2x

Sekarang limitnya menjadi:
lim (x->0) (9 sin 9x - 5 sin 5x) / sin 2x

Kita masih mendapatkan bentuk 0/0, jadi kita gunakan L'Hopital lagi.

Turunkan pembilang terhadap x:
d/dx (9 sin 9x - 5 sin 5x) = 9(9 cos 9x) - 5(5 cos 5x) = 81 cos 9x - 25 cos 5x

Turunkan penyebut terhadap x:
d/dx (sin 2x) = 2 cos 2x

Sekarang limitnya menjadi:
lim (x->0) (81 cos 9x - 25 cos 5x) / (2 cos 2x)

Substitusikan x = 0:
(81 cos 0 - 25 cos 0) / (2 cos 0)
(81 * 1 - 25 * 1) / (2 * 1)
(81 - 25) / 2
56 / 2
28

Jadi, nilai limitnya adalah 28.