Tentukan nilai maksimum dan minimum dari setiap fungsi di

Maksimum: 41, Minimum: -41

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi y = -9 cos x + 40 sin x, kita dapat menggunakan metode turunan.

Langkah 1: Cari turunan pertama fungsi terhadap x.
\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(-9 \cos x + 40 \sin x)\)
\(\frac{dy}{dx} = -9 (-\sin x) + 40 (\cos x)\)
\(\frac{dy}{dx} = 9 \sin x + 40 \cos x\)

Langkah 2: Cari nilai x saat turunan pertama sama dengan nol untuk mencari titik kritis.
\(9 \sin x + 40 \cos x = 0\)
\(9 \sin x = -40 \cos x\)
\(\frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{40}{9}\)
\(\tan x = -\frac{40}{9}\)

Ini menunjukkan bahwa nilai x yang membuat turunan pertama menjadi nol berada pada kuadran di mana tangen bernilai negatif (Kuadran II dan IV).

Langkah 3: Gunakan bentuk R sin(x + \(\alpha\)) atau R cos(x - \(\alpha\)) untuk menyederhanakan fungsi.
Kita dapat menulis y = R cos(x - \(\alpha\)) atau y = R sin(x + \(\alpha\)).
Misalkan y = R sin(x + \(\alpha\)) = R (sin x cos \(\alpha\) + cos x sin \(\alpha\))
\(y = (R \cos \alpha) \sin x + (R \sin \alpha) \cos x\)

Membandingkan dengan y = 40 sin x - 9 cos x:
\(R \cos \alpha = 40\)
\(R \sin \alpha = -9\)

Kuadratkan kedua persamaan dan jumlahkan:
\(R^2 \cos^2 \alpha + R^2 \sin^2 \alpha = 40^2 + (-9)^2\)
\(R^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 1600 + 81\)
\(R^2 (1) = 1681\)
\(R = \sqrt{1681} = 41\)

Nilai maksimum dari R sin(x + \(\alpha\)) adalah R, dan nilai minimumnya adalah -R.

Oleh karena itu, nilai maksimum dari fungsi y = -9 cos x + 40 sin x adalah 41, dan nilai minimumnya adalah -41.

**Jawaban:**
Nilai maksimum: 41
Nilai minimum: -41