Tentukan nilai maksimum f(x, y)=40x+50y jika (x, y)

Nilai maksimum f(x, y) adalah 370.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum f(x, y) = 40x + 50y dari sistem pertidaksamaan yang diberikan, kita perlu mencari titik-titik sudut dari daerah yang dibatasi oleh pertidaksamaan tersebut. Titik-titik sudut ini mewakili kemungkinan solusi optimal.

Pertidaksamaan yang diberikan adalah:
1. 2x + 6y <= 36
2. 5x + 3y <= 30
3. 8x + 2y <= 40
4. x >= 0
5. y >= 0

Langkah-langkah untuk menemukan titik sudut:
1. Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan untuk menemukan garis:
   a. 2x + 6y = 36  => x + 3y = 18
   b. 5x + 3y = 30
   c. 8x + 2y = 40  => 4x + y = 20

2. Cari titik potong antar garis:
   - Titik potong sumbu x dan y (karena x>=0, y>=0):
     - Dari x + 3y = 18: jika x=0, y=6; jika y=0, x=18. Titik: (0, 6) dan (18, 0)
     - Dari 5x + 3y = 30: jika x=0, y=10; jika y=0, x=6. Titik: (0, 10) dan (6, 0)
     - Dari 4x + y = 20: jika x=0, y=20; jika y=0, x=5. Titik: (0, 20) dan (5, 0)

   - Titik potong antara dua garis:
     - Potong (a) x + 3y = 18 dengan (b) 5x + 3y = 30:
       Kurangkan (a) dari (b): (5x - x) + (3y - 3y) = 30 - 18 => 4x = 12 => x = 3.
       Substitusikan x=3 ke (a): 3 + 3y = 18 => 3y = 15 => y = 5. Titik potong: (3, 5).

     - Potong (a) x + 3y = 18 dengan (c) 4x + y = 20:
       Kalikan (c) dengan 3: 12x + 3y = 60.
       Kurangkan (a) dari hasil perkalian (c): (12x - x) + (3y - 3y) = 60 - 18 => 11x = 42 => x = 42/11.
       Substitusikan x=42/11 ke (c): 4(42/11) + y = 20 => 168/11 + y = 220/11 => y = 52/11. Titik potong: (42/11, 52/11).

     - Potong (b) 5x + 3y = 30 dengan (c) 4x + y = 20:
       Dari (c), y = 20 - 4x.
       Substitusikan ke (b): 5x + 3(20 - 4x) = 30 => 5x + 60 - 12x = 30 => -7x = -30 => x = 30/7.
       Substitusikan x=30/7 ke y = 20 - 4x: y = 20 - 4(30/7) = 20 - 120/7 = (140 - 120)/7 = 20/7. Titik potong: (30/7, 20/7).

3. Tentukan titik sudut yang valid (memenuhi semua pertidaksamaan):
   Titik-titik yang berpotensi menjadi titik sudut adalah (0,0), titik potong sumbu, dan titik potong antar garis yang memenuhi semua pertidaksamaan.
   Kita perlu menguji setiap titik pada semua pertidaksamaan.
   - (0,0): Memenuhi.
   - (0,6): 2(0)+6(6)=36 (OK), 5(0)+3(6)=18<=30 (OK), 8(0)+2(6)=12<=40 (OK), 0>=0 (OK), 6>=0 (OK). Titik (0,6) valid.
   - (6,0): 2(6)+6(0)=12<=36 (OK), 5(6)+3(0)=30 (OK), 8(6)+2(0)=48 (TIDAK OK).
   - (5,0): 2(5)+6(0)=10<=36 (OK), 5(5)+3(0)=25<=30 (OK), 8(5)+2(0)=40 (OK), 5>=0 (OK), 0>=0 (OK). Titik (5,0) valid.
   - (3,5): 2(3)+6(5)=6+30=36 (OK), 5(3)+3(5)=15+15=30 (OK), 8(3)+2(5)=24+10=34<=40 (OK), 3>=0 (OK), 5>=0 (OK). Titik (3,5) valid.
   - (42/11, 52/11) ~ (3.82, 4.73): Perlu dicek. Menggunakan kalkulasi lebih mudah dengan nilai desimal.
     2(3.82)+6(4.73) = 7.64 + 28.38 = 36.02 (sedikit lebih dari 36, jadi kemungkinan tidak valid atau sangat mendekati batas).
     Mari gunakan nilai eksak: 2(42/11)+6(52/11) = (84+312)/11 = 396/11 = 36 (OK).
     5(42/11)+3(52/11) = (210+156)/11 = 366/11 = 33.27 (TIDAK OK, karena <=30).
   - (30/7, 20/7) ~ (4.29, 2.86):
     2(30/7)+6(20/7) = (60+120)/7 = 180/7 = 25.71 <= 36 (OK).
     5(30/7)+3(20/7) = (150+60)/7 = 210/7 = 30 (OK).
     8(30/7)+2(20/7) = (240+40)/7 = 280/7 = 40 (OK).
     Titik (30/7, 20/7) valid.

Titik sudut yang valid adalah: (0,0), (0,6), (5,0), (3,5), (30/7, 20/7).

4. Evaluasi fungsi tujuan f(x, y) = 40x + 50y di setiap titik sudut:
   - f(0,0) = 40(0) + 50(0) = 0
   - f(0,6) = 40(0) + 50(6) = 300
   - f(5,0) = 40(5) + 50(0) = 200
   - f(3,5) = 40(3) + 50(5) = 120 + 250 = 370
   - f(30/7, 20/7) = 40(30/7) + 50(20/7) = 1200/7 + 1000/7 = 2200/7 ≈ 314.29

Nilai maksimum adalah 370, yang terjadi pada titik (3,5).

Jawaban Singkat: Nilai maksimum f(x, y) adalah 370.