Tentukan nilai maksimum mutlak/relatif, minimum

Maksimum relatif: 4 (di x=1), Minimum relatif: 0 (di x=3). Tidak ada maksimum/minimum absolut.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = x³ - 6x² + 9x, kita perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut dan menentukan titik kritisnya.

1. Cari turunan pertama f'(x):
f'(x) = 3x² - 12x + 9

2. Tentukan titik kritis dengan menyamakan f'(x) dengan 0:
3x² - 12x + 9 = 0
Bagi kedua sisi dengan 3:
x² - 4x + 3 = 0
Faktorkan persamaan kuadrat:
(x - 1)(x - 3) = 0
Jadi, titik kritisnya adalah x = 1 dan x = 3.

3. Gunakan turunan kedua untuk menentukan jenis nilai ekstremnya:
Cari turunan kedua f''(x):
f''(x) = 6x - 12

Evaluasi f''(x) pada titik kritis:
Untuk x = 1: f''(1) = 6(1) - 12 = -6. Karena f''(1) < 0, maka pada x = 1 terdapat nilai maksimum relatif.
Untuk x = 3: f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6. Karena f''(3) > 0, maka pada x = 3 terdapat nilai minimum relatif.

4. Hitung nilai fungsi pada titik kritis:
Nilai maksimum relatif: f(1) = (1)³ - 6(1)² + 9(1) = 1 - 6 + 9 = 4.
Nilai minimum relatif: f(3) = (3)³ - 6(3)² + 9(3) = 27 - 54 + 27 = 0.

Karena fungsi ini adalah polinomial derajat tiga, ia tidak memiliki nilai maksimum atau minimum absolut karena cenderung menuju tak hingga positif dan negatif seiring x menuju tak hingga positif dan negatif.

Jadi:
Nilai maksimum relatif adalah 4 pada x = 1.
Nilai minimum relatif adalah 0 pada x = 3.