Tentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) bentuk

Nilai minimum adalah 4 (di titik (0,4)) dan nilai maksimum adalah 6 (di titik (2,2) dan (3,0)).

Pembahasan

Untuk menentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) dari bentuk objektif 2x + y pada sistem pertidaksamaan linear:
x \ge 0
y \ge 0
2x + y \le 6
x + y \le 4

Langkah 1: Tentukan titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan.
Kita perlu mencari titik potong dari garis-garis persamaan yang terkait dengan pertidaksamaan tersebut.

Titik potong sumbu:
- Dari 2x + y = 6: Jika x=0, y=6. Titik (0, 6). Jika y=0, x=3. Titik (3, 0).
- Dari x + y = 4: Jika x=0, y=4. Titik (0, 4). Jika y=0, x=4. Titik (4, 0).

Titik potong antar garis:
Kita cari titik potong antara 2x + y = 6 dan x + y = 4.
Dengan mengeliminasi y:
(2x + y) - (x + y) = 6 - 4
x = 2

Substitusikan x = 2 ke salah satu persamaan, misalnya x + y = 4:
2 + y = 4
y = 2
Jadi, titik potongnya adalah (2, 2).

Titik pojok yang relevan adalah perpotongan garis-garis tersebut yang memenuhi semua pertidaksamaan:
1. Titik potong sumbu y dari x+y=4 dengan x>=0 dan y>=0: (0, 4).
2. Titik potong dari x+y=4 dan 2x+y=6: (2, 2).
3. Titik potong sumbu x dari 2x+y=6 dengan x>=0 dan y>=0: (3, 0).

(Kita abaikan (0,6) karena tidak memenuhi x+y<=4, dan (4,0) karena tidak memenuhi 2x+y<=6)

Langkah 2: Substitusikan koordinat titik-titik pojok ke dalam bentuk objektif.
Bentuk objektif: f(x, y) = 2x + y

- Di titik (0, 4):
f(0, 4) = 2(0) + 4 = 4
- Di titik (2, 2):
f(2, 2) = 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6
- Di titik (3, 0):
f(3, 0) = 2(3) + 0 = 6

Langkah 3: Tentukan nilai maksimum dan minimum.
Nilai minimum dari bentuk objektif adalah 4, yang terjadi di titik (0, 4).
Nilai maksimum dari bentuk objektif adalah 6, yang terjadi di titik (2, 2) dan (3, 0).

Jadi, nilai optimum (minimum dan maksimum) dari bentuk objektif 2x + y adalah 4 dan 6.