Tentukan panjang kurva x = 2/3 (y-1)^(3/2) di antara 1 <= y

52/3

Pembahasan

Untuk menentukan panjang kurva x = 2/3 (y-1)^(3/2) di antara 1 <= y <= 9, kita perlu menggunakan rumus panjang kurva integral.
Rumus panjang kurva adalah L = ∫[a, b] √(1 + (dx/dy)²) dy.
Pertama, kita cari turunan dx/dy:
dx/dy = d/dy (2/3 (y-1)^(3/2))
dx/dy = 2/3 * (3/2) * (y-1)^(1/2) * 1
dx/dy = (y-1)^(1/2)
Selanjutnya, kita kuadratkan turunannya:
(dx/dy)² = ((y-1)^(1/2))²
(dx/dy)² = y-1
Sekarang, kita masukkan ke dalam rumus panjang kurva:
L = ∫[1, 9] √(1 + (y-1)) dy
L = ∫[1, 9] √(y) dy
L = ∫[1, 9] y^(1/2) dy
Sekarang, kita integralkan:
L = [ (2/3) * y^(3/2) ] dari 1 sampai 9
L = (2/3) * (9)^(3/2) - (2/3) * (1)^(3/2)
L = (2/3) * (27) - (2/3) * (1)
L = 18 - 2/3
L = 54/3 - 2/3
L = 52/3
Jadi, panjang kurva tersebut adalah 52/3.