Tentukan penyelesaian persamaan berikut. a. |4 x-1|^2-5|4

Untuk b: $x=4$ atau $x=-2$. Untuk a (dengan asumsi typo): $x=3/4, -1/4, 1, -1/2$.

Pembahasan

Kita diminta untuk menentukan penyelesaian dari dua persamaan nilai mutlak:

a. $|4x-1|^2 - 5|4x+1| + 6 = 0$
b. $2|x-1|^2 - 5 = |x-1|^2 + 4$

Mari kita selesaikan satu per satu:

**a. $|4x-1|^2 - 5|4x+1| + 6 = 0$**

Perlu diingat bahwa $|a|^2 = a^2$. Oleh karena itu, $|4x-1|^2 = (4x-1)^2$. Namun, kita juga memiliki $|4x+1|$, yang berbeda. Persamaan ini tampaknya tidak dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan substitusi sederhana kecuali jika ada hubungan antara $|4x-1|$ dan $|4x+1|$.

Jika kita berasumsi bahwa soal ini seharusnya memiliki bentuk yang lebih sederhana atau ada kesalahan ketik, dan mencoba menyelesaikan jika kedua suku nilai mutlaknya sama, misalnya $|4x-1|$, maka kita bisa lakukan substitusi. Namun, dengan bentuk yang ada, kita perlu analisis lebih lanjut.

Misalkan $y = |4x-1|$. Maka $y^2 = |4x-1|^2$.
Persamaan menjadi: $y^2 - 5|4x+1| + 6 = 0$.
Karena $|4x+1|$ tidak sama dengan $|4x-1|$, kita tidak bisa langsung menyubstitusikan $y$ untuk keduanya.

Kemungkinan lain, jika soalnya adalah $|4x-1|^2 - 5|4x-1| + 6 = 0$, maka:
Misalkan $u = |4x-1|$.
Maka $u^2 - 5u + 6 = 0$.
Memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
$(u-2)(u-3) = 0$.
Jadi, $u=2$ atau $u=3$.

Jika $u=2$, maka $|4x-1| = 2$.
Ini berarti $4x-1 = 2$ atau $4x-1 = -2$.
$4x = 3 
ightarrow x = 3/4$
$4x = -1 
ightarrow x = -1/4$

Jika $u=3$, maka $|4x-1| = 3$.
Ini berarti $4x-1 = 3$ atau $4x-1 = -3$.
$4x = 4 
ightarrow x = 1$
$4x = -2 
ightarrow x = -1/2$

Jika soal aslinya benar, $ |4x-1|^2 - 5|4x+1| + 6 = 0 $, ini lebih kompleks dan memerlukan pemisahan kasus berdasarkan tanda dari $(4x-1)$ dan $(4x+1)$.

**b. $2|x-1|^2 - 5 = |x-1|^2 + 4$**

Kita dapat menyederhanakan persamaan ini terlebih dahulu. Pertama, perhatikan bahwa $|x-1|^2 = (x-1)^2$. 

Persamaan: $2(x-1)^2 - 5 = (x-1)^2 + 4$

Pindahkan semua suku yang mengandung $(x-1)^2$ ke satu sisi:
$2(x-1)^2 - (x-1)^2 = 4 + 5$
$(x-1)^2 = 9$

Sekarang, ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
$\sqrt{(x-1)^2} = \pm \sqrt{9}$
$|x-1| = \pm 3$

Karena nilai mutlak selalu non-negatif, kita hanya perlu mempertimbangkan $ |x-1| = 3 $.

Ini berarti:
$x-1 = 3$ atau $x-1 = -3$.

Jika $x-1 = 3$, maka $x = 3 + 1 = 4$.
Jika $x-1 = -3$, maka $x = -3 + 1 = -2$.

Jadi, penyelesaian untuk persamaan b adalah $x = 4$ dan $x = -2$.

**Kesimpulan (dengan asumsi soal a memiliki kesalahan ketik dan seharusnya $|4x-1|$):**
Jika soal a adalah $|4x-1|^2 - 5|4x-1| + 6 = 0$, maka penyelesaiannya adalah $x = 3/4, x = -1/4, x = 1, x = -1/2$.

Penyelesaian untuk soal b adalah $x = 4$ dan $x = -2$.

Jika soal a benar seperti yang tertulis, penyelesaiannya lebih kompleks dan memerlukan analisis kasus.