Tentukan penyelesaian persamaan trigonometri berikut. 5 cos

Solusi persamaan adalah x = arccos(6/√41) + arctan(4/5) + 2nπ dan x = -arccos(6/√41) + arctan(4/5) + 2nπ.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri 5 cos x + 4 sin x = 6, kita akan menggunakan petunjuk untuk mengubah bentuk a cos x + b sin x menjadi k cos (x - α).

Bentuk umum: k cos (x - α) = k (cos x cos α + sin x sin α) = (k cos α) cos x + (k sin α) sin x.

Kita ingin menyamakan ini dengan 5 cos x + 4 sin x.
Jadi, kita punya:
k cos α = 5
k sin α = 4

Untuk mencari k, kuadratkan kedua persamaan dan jumlahkan:
(k cos α)² + (k sin α)² = 5² + 4²
k² cos² α + k² sin² α = 25 + 16
k² (cos² α + sin² α) = 41
Karena cos² α + sin² α = 1, maka:
k² = 41
k = √41

Untuk mencari α, bagi persamaan kedua dengan persamaan pertama:
(k sin α) / (k cos α) = 4 / 5
tan α = 4/5
α = arctan(4/5)

Sekarang persamaan kita menjadi:
√41 cos (x - α) = 6
cos (x - α) = 6 / √41

Kita perlu mencari nilai x.
Misalkan θ = x - α.
Maka, cos θ = 6 / √41.

Karena 6/√41 positif, θ berada di kuadran I atau IV.

θ₁ = arccos(6/√41)
θ₂ = -arccos(6/√41)

Kembali ke x:
x - α = θ
x = θ + α

Jadi, solusi umumnya adalah:
x = arccos(6/√41) + arctan(4/5) + 2nπ
x = -arccos(6/√41) + arctan(4/5) + 2nπ

Di mana n adalah bilangan bulat.

Untuk mendapatkan nilai numerik, kita perlu menghitung nilai arctan(4/5) dan arccos(6/√41).
α ≈ 38.66° atau 0.6747 radian.
6/√41 ≈ 0.9372

arccos(0.9372) ≈ 20.44° atau 0.3568 radian.

Jadi,:
x₁ ≈ 20.44° + 38.66° = 59.10°
x₂ ≈ -20.44° + 38.66° = 18.22°

Solusi umum dalam radian:
x ≈ 0.3568 + 0.6747 + 2nπ = 1.0315 + 2nπ
x ≈ -0.3568 + 0.6747 + 2nπ = 0.3179 + 2nπ

Perlu dicatat bahwa karena persamaan asli adalah 5 cos x + 4 sin x = 6, kita perlu memeriksa apakah nilai-nilai ini valid.