Tentukan persamaan ellips yang eksentrisitas numeriknya

Persamaan ellips dengan pusat (0,0), salah satu fokus F(6,0) dan eksentrisitas e=2/3 adalah x²/81 + y²/45 = 1.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan elips, kita perlu mengetahui pusat elips dan panjang sumbu mayor serta minornya. Diketahui eksentrisitas numerik (e) adalah 2/3 dan salah satu titik apinya adalah F(6,0).

Dalam elips, eksentrisitas didefinisikan sebagai rasio jarak dari pusat ke salah satu fokus terhadap panjang sumbu mayor, yaitu e = c/a. Titik api elips berada pada sumbu fokus. Jika kita mengasumsikan pusat elips berada di (h,k), maka jarak dari pusat ke fokus adalah c. Karena salah satu fokus adalah F(6,0), dan kita tidak diberikan informasi lain tentang fokus atau pusat, kita bisa mengasumsikan salah satu kasus:

Kasus 1: Pusat elips adalah di (0,0).
Jika pusat elips adalah (0,0), maka jarak dari pusat ke fokus adalah c. Jadi, c = 6. Dari eksentrisitas e = c/a, kita punya 2/3 = 6/a. Maka, a = 6 * (3/2) = 9.
Untuk elips horizontal dengan pusat (0,0), persamaan umumnya adalah x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. Kita tahu bahwa pada elips berlaku hubungan b^2 = a^2 - c^2. Maka, b^2 = 9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45.
Jadi, persamaan elipsnya adalah x^2/81 + y^2/45 = 1.

Kasus 2: Titik api F(6,0) adalah fokus pada elips yang berpusat di selain (0,0).
Tanpa informasi tambahan mengenai pusat elips atau fokus lainnya, kita tidak dapat secara unik menentukan persamaan elipsnya. Namun, jika soal mengimplikasikan bahwa F(6,0) adalah satu-satunya informasi yang diberikan dan kita perlu membuat asumsi yang paling umum, asumsi pusat di (0,0) adalah yang paling masuk akal.

Oleh karena itu, dengan asumsi pusat elips berada di (0,0), persamaan elipsnya adalah x^2/81 + y^2/45 = 1.