Tentukan persamaan garis singgung kurva y=(1)/(4) cos (2

y = (-1/4)x + π/12 + √3/8

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung kurva y = (1/4) cos(2x - π/2) di titik dengan absis x = π/3, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Cari turunan pertama dari fungsi y terhadap x (dy/dx).

y = (1/4) cos(2x - π/2)

Menggunakan aturan rantai, turunan dari cos(u) adalah -sin(u) * du/dx.
Di sini, u = 2x - π/2, sehingga du/dx = 2.

dy/dx = (1/4) * [-sin(2x - π/2)] * 2
dy/dx = -(1/2) sin(2x - π/2)

Kita tahu bahwa sin(θ - π/2) = -cos(θ). Jadi, sin(2x - π/2) = -cos(2x).

Maka, dy/dx = -(1/2) [-cos(2x)]
dy/dx = (1/2) cos(2x)

Langkah 2: Hitung gradien (m) garis singgung pada x = π/3.

m = dy/dx |_(x=π/3)
m = (1/2) cos(2 * π/3)
m = (1/2) cos(2π/3)

Nilai cos(2π/3) adalah -1/2.

m = (1/2) * (-1/2)
m = -1/4

Langkah 3: Cari nilai y pada x = π/3.

y = (1/4) cos(2 * π/3 - π/2)
y = (1/4) cos(2π/3 - 3π/6)
y = (1/4) cos(4π/6 - 3π/6)
y = (1/4) cos(π/6)

Nilai cos(π/6) adalah √3/2.

y = (1/4) * (√3/2)
y = √3/8

Jadi, titik singgungnya adalah (π/3, √3/8).

Langkah 4: Gunakan rumus persamaan garis singgung: y - y1 = m(x - x1).

y - √3/8 = (-1/4)(x - π/3)

Langkah 5: Sederhanakan persamaan.

y = (-1/4)x + π/12 + √3/8

Persamaan garis singgung kurva y=(1/4) cos (2 x-(pi)/(2)) di titik dengan absis x=(pi)/(3) adalah y = (-1/4)x + π/12 + √3/8.