Tentukan persamaan garis yang bergradien -4/3 yang

Persamaan garis singgungnya adalah $4x+3y+15=0$ dan $4x+3y-35=0$.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis yang bergradien -4/3 yang menyinggung lingkaran $(x-1)^2+(y-2)^2=25$, kita dapat menggunakan beberapa metode. Salah satu metode adalah dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis.

Persamaan lingkaran: $(x-1)^2+(y-2)^2=25$. Dari sini kita tahu pusat lingkaran adalah $(h, k) = (1, 2)$ dan jari-jarinya adalah $r = \sqrt{25} = 5$.
Gradien garis singgung ($m$) adalah $-4/3$.

Misalkan persamaan garis singgung tersebut adalah $y = mx + c$, atau $y = -4/3 x + c$. Kita bisa ubah bentuk ini menjadi $4x + 3y - 3c = 0$.

Syarat garis menyinggung lingkaran adalah jarak dari pusat lingkaran ke garis singgung sama dengan jari-jari lingkaran. Rumus jarak titik $(x_0, y_0)$ ke garis $Ax+By+C=0$ adalah $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

Dalam kasus ini, $(x_0, y_0) = (1, 2)$, $A=4$, $B=3$, $C=-3c$, dan $d=r=5$.

Maka:
$5 = \frac{|4(1) + 3(2) - 3c|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$
$5 = \frac{|4 + 6 - 3c|}{\sqrt{16 + 9}}$
$5 = \frac{|10 - 3c|}{\sqrt{25}}$
$5 = \frac{|10 - 3c|}{5}$
$25 = |10 - 3c|$

Ini berarti ada dua kemungkinan:
1) $10 - 3c = 25$
$-3c = 25 - 10$
$-3c = 15$
$c = -5$

2) $10 - 3c = -25$
$-3c = -25 - 10$
$-3c = -35$
$c = 35/3$

Jadi, ada dua kemungkinan persamaan garis singgung:
1) Jika $c = -5$, maka $y = -4/3 x - 5$, atau $3y = -4x - 15$, atau $4x + 3y + 15 = 0$.
2) Jika $c = 35/3$, maka $y = -4/3 x + 35/3$, atau $3y = -4x + 35$, atau $4x + 3y - 35 = 0$.

Kedua persamaan garis ini memiliki gradien -4/3 dan menyinggung lingkaran $(x-1)^2+(y-2)^2=25$.