Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dua kali

$x^2 + 10x - 24 = 0$

Pembahasan

Diketahui persamaan kuadrat $x^2 + 5x - 6 = 0$. Misalkan akar-akar persamaan ini adalah $\alpha$ dan $\beta$. Berdasarkan teorema Vieta, kita tahu bahwa:
Jumlah akar: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{5}{1} = -5$
 hasil akar: $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{-6}{1} = -6$

Kita diminta untuk menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah dua kali akar dari persamaan semula, yaitu $2\alpha$ dan $2\beta$.

Untuk persamaan kuadrat baru, misalkan akar-akarnya adalah $\alpha'$ dan $\beta'$, di mana $\alpha' = 2\alpha$ dan $\beta' = 2\beta$.

Jumlah akar persamaan kuadrat baru:
$\alpha' + \beta' = 2\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta)$
Substitusikan nilai $\alpha + \beta = -5$:
$\alpha' + \beta' = 2(-5) = -10$

 hasil akar persamaan kuadrat baru:
$\alpha' \beta' = (2\alpha)(2\beta) = 4(\alpha \beta)$
Substitusikan nilai $\alpha \beta = -6$:
$\alpha' \beta' = 4(-6) = -24$

Persamaan kuadrat baru dapat dibentuk dengan rumus: $x^2 - (\text{jumlah akar})x + (\text{ hasil akar}) = 0$.

Mengganti nilai jumlah akar dan hasil akar yang baru:
$x^2 - (-10)x + (-24) = 0$
$x^2 + 10x - 24 = 0$

Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dua kali akar dari persamaan $x^2 + 5x - 6 = 0$ adalah $x^2 + 10x - 24 = 0$.