Tentukan persamaan parabola dengan ketentuan sebagai

y² + 2y - 16x - 15 = 0

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan parabola yang memiliki fokus (3, -1) dan persamaan direktriks x + 5 = 0, kita gunakan definisi parabola sebagai himpunan titik-titik yang berjarak sama dari fokus dan direktriks.

Misalkan P(x, y) adalah sembarang titik pada parabola.
Jarak P ke fokus F(3, -1) adalah:
PF = sqrt((x - 3)² + (y - (-1))²) = sqrt((x - 3)² + (y + 1)²)

Jarak P ke garis direktriks x + 5 = 0 adalah jarak tegak lurus dari P ke garis tersebut. Rumus jarak titik (x₀, y₀) ke garis Ax + By + C = 0 adalah |Ax₀ + By₀ + C| / sqrt(A² + B²).
Dalam kasus ini, titiknya adalah (x, y) dan garisnya adalah x + 0y + 5 = 0. Maka A=1, B=0, C=5.
Jarak P ke direktriks = |1*x + 0*y + 5| / sqrt(1² + 0²) = |x + 5| / 1 = |x + 5|

Karena jarak PF sama dengan jarak P ke direktriks:
PF = Jarak P ke direktriks
sqrt((x - 3)² + (y + 1)²) = |x + 5|

Kuadratkan kedua sisi:
(x - 3)² + (y + 1)² = (x + 5)²

Jabarkan kedua sisi:
(x² - 6x + 9) + (y² + 2y + 1) = x² + 10x + 25

Sederhanakan persamaan:
 x² - 6x + 9 + y² + 2y + 1 = x² + 10x + 25

Kurangkan x² dari kedua sisi:
-6x + 9 + y² + 2y + 1 = 10x + 25

Pindahkan semua suku yang mengandung x ke satu sisi dan suku lainnya ke sisi lain:
y² + 2y + 10 = 10x + 6x + 25 - 9
y² + 2y + 10 = 16x + 16

Susun ulang untuk mendapatkan bentuk standar parabola (biasanya dalam bentuk (y-k)² = 4p(x-h) atau (x-h)² = 4p(y-k)). Dalam kasus ini, karena direktriksnya vertikal (x = konstan), maka parabola terbuka ke kanan atau kiri.

Perhatikan bahwa fokusnya adalah (3, -1) dan direktriksnya adalah x = -5. Jarak dari fokus ke direktriks adalah |3 - (-5)| = 8. Nilai p (jarak dari verteks ke fokus/direktriks) adalah setengah dari jarak ini, yaitu p = 4.

Karena fokus berada di sebelah kanan direktriks (3 > -5), parabola terbuka ke kanan. Titik pusat (vertex) parabola berada di tengah-tengah antara fokus dan direktriks. Sumbu simetri adalah garis horizontal y = -1.

Koordinat x verteks = (3 + (-5)) / 2 = -2 / 2 = -1.
Koordinat y verteks = -1.
Jadi, verteksnya adalah (-1, -1).

Persamaan parabola dengan verteks (h, k) dan terbuka ke kanan adalah (y - k)² = 4p(x - h).
Substitusikan h = -1, k = -1, dan p = 4:
(y - (-1))² = 4(4)(x - (-1))
(y + 1)² = 16(x + 1)

Mari kita periksa apakah ini sesuai dengan hasil aljabar sebelumnya:
y² + 2y + 1 = 16x + 16
y² + 2y + 10 = 16x + 16

Sepertinya ada ketidaksesuaian. Mari kita tinjau kembali perhitungan aljabarnya:
(x - 3)² + (y + 1)² = (x + 5)²
x² - 6x + 9 + y² + 2y + 1 = x² + 10x + 25
-6x + 9 + y² + 2y + 1 = 10x + 25
y² + 2y + 10 = 16x + 25

Sepertinya ada kesalahan dalam penyederhanaan.
Mari kita ulangi:
(x² - 6x + 9) + (y² + 2y + 1) = x² + 10x + 25
x² - 6x + 9 + y² + 2y + 1 - (x² + 10x + 25) = 0
x² - 6x + 9 + y² + 2y + 1 - x² - 10x - 25 = 0
(x² - x²) + (-6x - 10x) + (y² + 2y) + (9 + 1 - 25) = 0
0 - 16x + y² + 2y - 15 = 0
y² + 2y - 16x - 15 = 0

Sekarang mari kita cocokkan dengan bentuk (y - k)² = 4p(x - h).
Kita tahu verteksnya (-1, -1) dan p = 4.
(y + 1)² = 16(x + 1)
y² + 2y + 1 = 16x + 16
y² + 2y + 1 - 16x - 16 = 0
y² + 2y - 16x - 15 = 0

Ini cocok. Jadi, persamaan parabolanya adalah y² + 2y - 16x - 15 = 0.