Tentukan semua nilai x pada interval 0 < x < 2pi yang

a. $x = \frac{\pi}{2}$ atau $x \approx 5.64$; b. $x \approx 5.64$

Pembahasan

Kita perlu menentukan semua nilai x pada interval $0 < x < 2\pi$ yang memenuhi persamaan trigonometri berikut:

a. $\sin x + 2 \cos x = 1$
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita bisa menggunakan metode mengubah bentuk $a \sin x + b \cos x$ menjadi $R \sin(x + \alpha)$ atau $R \cos(x - \alpha)$.

Kita ubah $\sin x + 2 \cos x$ menjadi bentuk $R \cos(x - \alpha)$.
$R = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Untuk mencari $\alpha$, kita punya $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ dan $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$. Nilai $\alpha$ berada di kuadran I.

Maka, persamaan menjadi $\sqrt{5} \cos(x - \alpha) = 1$
$\cos(x - \alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Misalkan $\beta$ adalah sudut sedemikian sehingga $\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{5}}$. Maka $x - \alpha = \pm \beta + 2k\pi$, di mana k adalah bilangan bulat.

Dari $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ dan $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$, kita tahu $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$.
Dari $\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{5}}$, kita tahu $\sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} = \sqrt{1 - (1/\sqrt{5})^2} = \sqrt{1 - 1/5} = \sqrt{4/5} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

Perhatikan bahwa $\sin \beta = \cos \alpha$ dan $\cos \beta = \sin \alpha$. Ini berarti $\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$.

Maka, $x - \alpha = \pm (\frac{\pi}{2} - \alpha) + 2k\pi$

Kasus 1: $x - \alpha = \frac{\pi}{2} - \alpha + 2k\pi$
$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
Untuk $k=0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Ini berada dalam interval $0 < x < 2\pi$.

Kasus 2: $x - \alpha = - (\frac{\pi}{2} - \alpha) + 2k\pi$
$x - \alpha = -\frac{\pi}{2} + \alpha + 2k\pi$
$x = 2\alpha - \frac{\pi}{2} + 2k\pi$

Karena $\tan \alpha = \frac{1}{2}$, $\alpha = \arctan(\frac{1}{2})$.
Nilai $\alpha$ kira-kira $0.4636$ radian.
$x = 2(0.4636) - \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
$x \approx 0.9272 - 1.5708 + 2k\pi$
$x \approx -0.6436 + 2k\pi$
Untuk $k=1$, $x \approx -0.6436 + 2\pi \approx -0.6436 + 6.2832 \approx 5.6396$. Ini berada dalam interval $0 < x < 2\pi$.

Jadi, solusi untuk a. adalah $x = \frac{\pi}{2}$ dan $x \approx 5.6396$ (atau $x = 2\arctan(\frac{1}{2}) - \frac{\pi}{2} + 2\pi$).

b. $3\cos x - \sin x = 3$
Kita ubah $3\cos x - \sin x$ menjadi bentuk $R \cos(x + \alpha)$.
$R = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.

Kita punya $\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$ dan $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$. Nilai $\alpha$ berada di kuadran I.

Maka, persamaan menjadi $\sqrt{10} \cos(x + \alpha) = 3$
$\cos(x + \alpha) = \frac{3}{\sqrt{10}}$

Misalkan $\gamma$ adalah sudut sedemikian sehingga $\cos \gamma = \frac{3}{\sqrt{10}}$. Maka $x + \alpha = \pm \gamma + 2k\pi$.

Dari $\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$ dan $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$, kita tahu $\tan \alpha = \frac{1}{3}$.
Dari $\cos \gamma = \frac{3}{\sqrt{10}}$, kita tahu $\sin \gamma = \sqrt{1 - \cos^2 \gamma} = \sqrt{1 - (3/\sqrt{10})^2} = \sqrt{1 - 9/10} = \sqrt{1/10} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

Perhatikan bahwa $\sin \gamma = \sin \alpha$ dan $\cos \gamma = \cos \alpha$. Ini berarti $\gamma = \alpha$.

Maka, $x + \alpha = \pm \alpha + 2k\pi$

Kasus 1: $x + \alpha = \alpha + 2k\pi$
$x = 2k\pi$
Untuk $k=1$ (karena $x > 0$), $x = 2\pi$. Namun, intervalnya adalah $0 < x < 2\pi$, jadi $x=2\pi$ tidak termasuk.

Kasus 2: $x + \alpha = -\alpha + 2k\pi$
$x = -2\alpha + 2k\pi$

Karena $\tan \alpha = \frac{1}{3}$, $\alpha = \arctan(\frac{1}{3})$.
Nilai $\alpha$ kira-kira $0.3218$ radian.
$x = -2(0.3218) + 2k\pi$
$x \approx -0.6436 + 2k\pi$
Untuk $k=1$, $x \approx -0.6436 + 2\pi \approx -0.6436 + 6.2832 \approx 5.6396$. Ini berada dalam interval $0 < x < 2\pi$.

Jadi, solusi untuk b. adalah $x \approx 5.6396$ (atau $x = 2\pi - 2\arctan(\frac{1}{3})$).

Kesimpulan:
Untuk $0 < x < 2\pi$:
a. $\sin x + 2 \cos x = 1$ memiliki solusi $x = \frac{\pi}{2}$ dan $x \approx 5.6396$ (atau $x = 2\arctan(\frac{1}{2}) - \frac{\pi}{2} + 2\pi$).
b. $3\cos x - \sin x = 3$ memiliki solusi $x \approx 5.6396$ (atau $x = 2\pi - 2\arctan(\frac{1}{3})$).