Kelas 12Kelas 11mathAljabar
Tentukan sisa pembagian sukubanyak berikut. x^9+x^4-x^2
Pertanyaan
Tentukan sisa pembagian dari suku banyak $x^9 + x^4 - x^2$ ketika dibagi oleh $x^3 - 4x$.
Solusi
Verified
Sisa pembagiannya adalah $3x^2 + 256x$.
Pembahasan
Untuk menentukan sisa pembagian suku banyak $P(x) = x^9 + x^4 - x^2$ oleh $D(x) = x^3 - 4x$, kita dapat menggunakan Teorema Sisa. Namun, karena pembaginya adalah suku banyak berderajat 3, kita bisa memanfaatkannya dengan memfaktorkan pembagi terlebih dahulu. $D(x) = x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$. Ketika $P(x)$ dibagi oleh $D(x)$, sisa pembagiannya akan berderajat paling tinggi 2. Misalkan sisanya adalah $R(x) = ax^2 + bx + c$. Menurut Teorema Sisa, jika $P(x)$ dibagi oleh $(x-k)$, maka sisanya adalah $P(k)$. Kita punya akar-akar dari $D(x)$ yaitu $x=0$, $x=2$, dan $x=-2$. 1. Ketika $x=0$: $P(0) = 0^9 + 0^4 - 0^2 = 0$. $R(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c$. Jadi, $c = 0$. 2. Ketika $x=2$: $P(2) = 2^9 + 2^4 - 2^2 = 512 + 16 - 4 = 524$. $R(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c$. Karena $c=0$, maka $4a + 2b = 524$, atau $2a + b = 262$ (Persamaan 1). 3. Ketika $x=-2$: $P(-2) = (-2)^9 + (-2)^4 - (-2)^2 = -512 + 16 - 4 = -500$. $R(-2) = a(-2)^2 + b(-2) + c = 4a - 2b + c$. Karena $c=0$, maka $4a - 2b = -500$, atau $2a - b = -250$ (Persamaan 2). Sekarang kita punya sistem dua persamaan linear dengan dua variabel: (1) $2a + b = 262$ (2) $2a - b = -250$ Jumlahkan Persamaan (1) dan (2): $(2a + b) + (2a - b) = 262 + (-250)$ $4a = 12$ $a = 3$ Substitusikan nilai $a=3$ ke Persamaan (1): $2(3) + b = 262$ $6 + b = 262$ $b = 262 - 6$ $b = 256$ Jadi, sisa pembagiannya adalah $R(x) = ax^2 + bx + c = 3x^2 + 256x + 0 = 3x^2 + 256x$.
Topik: Teorema Sisa
Section: Pembagian Suku Banyak
Apakah jawaban ini membantu?