Tentukan titik singgung garis y=-x+9 terhadap lingkaran

Titik singgungnya adalah (4, 5).

Pembahasan

Untuk menentukan titik singgung garis y = -x + 9 terhadap lingkaran x^2 + y^2 - 4x - 6y + 5 = 0, kita dapat menggunakan metode substitusi.

Persamaan garis: y = -x + 9
Persamaan lingkaran: x^2 + y^2 - 4x - 6y + 5 = 0

Substitusikan nilai y dari persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran:
x^2 + (-x + 9)^2 - 4x - 6(-x + 9) + 5 = 0

Jabarkan kuadrat (-x + 9)^2:
(-x + 9)^2 = (-x)^2 + 2*(-x)*9 + 9^2 = x^2 - 18x + 81

Sekarang substitusikan kembali ke persamaan lingkaran:
x^2 + (x^2 - 18x + 81) - 4x - 6(-x + 9) + 5 = 0

Distribusikan -6 ke dalam kurung:
-6(-x + 9) = 6x - 54

Gabungkan semua suku:
x^2 + x^2 - 18x + 81 - 4x + 6x - 54 + 5 = 0

Jumlahkan suku-suku yang sejenis:
(x^2 + x^2) + (-18x - 4x + 6x) + (81 - 54 + 5) = 0
2x^2 - 16x + 32 = 0

Sederhanakan persamaan dengan membagi semua suku dengan 2:
x^2 - 8x + 16 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
(x - 4)(x - 4) = 0
(x - 4)^2 = 0

Ini menunjukkan bahwa hanya ada satu solusi untuk x, yang berarti garis tersebut menyinggung lingkaran di satu titik.

x = 4

Sekarang, substitusikan nilai x = 4 kembali ke persamaan garis untuk mencari nilai y:
y = -x + 9
y = -4 + 9
y = 5

Jadi, titik singgung garis y = -x + 9 terhadap lingkaran x^2 + y^2 - 4x - 6y + 5 = 0 adalah (4, 5).