Tentukanlah semua faktor dari polinomial berikut:

Faktor-faktornya adalah (x + 2), (x + 5), dan (x - 4).

Pembahasan

Untuk menentukan semua faktor dari polinomial f(x) = x³ + 3x² - 18x - 40, kita dapat menggunakan Teorema Faktor dan metode pembagian polinomial atau mencoba memfaktorkan secara langsung.

Metode 1: Mencoba faktor-faktor rasional (Teorema Faktor).
Menurut Teorema Faktor, jika (x-c) adalah faktor dari f(x), maka f(c) = 0. Faktor-faktor rasional yang mungkin dari konstanta -40 adalah:
±1, ±2, ±4, ±5, ±8, ±10, ±20, ±40.

Mari kita uji beberapa nilai:
f(1) = 1³ + 3(1)² - 18(1) - 40 = 1 + 3 - 18 - 40 = -54 ≠ 0
f(-1) = (-1)³ + 3(-1)² - 18(-1) - 40 = -1 + 3 + 18 - 40 = -20 ≠ 0
f(2) = 2³ + 3(2)² - 18(2) - 40 = 8 + 3(4) - 36 - 40 = 8 + 12 - 36 - 40 = 20 - 76 = -56 ≠ 0
f(-2) = (-2)³ + 3(-2)² - 18(-2) - 40 = -8 + 3(4) + 36 - 40 = -8 + 12 + 36 - 40 = 4 + 36 - 40 = 40 - 40 = 0.
Karena f(-2) = 0, maka (x - (-2)) = (x + 2) adalah salah satu faktornya.

Sekarang kita bagi polinomial f(x) dengan (x + 2) menggunakan pembagian sintetik atau pembagian panjang.

Pembagian Sintetik dengan -2:
```
-2 | 1   3   -18   -40
   |    -2    -2    40
   ------------------
     1   1   -20     0
```
Hasil pembagiannya adalah x² + x - 20.

Jadi, f(x) = (x + 2)(x² + x - 20).

Sekarang kita faktorkan kuadratik x² + x - 20.
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -20 dan jika dijumlahkan menghasilkan 1. Bilangan tersebut adalah 5 dan -4.
Maka, x² + x - 20 = (x + 5)(x - 4).

Sehingga, faktorisasi lengkap dari f(x) adalah:
f(x) = (x + 2)(x + 5)(x - 4).

Faktor-faktor dari polinomial f(x) = x³ + 3x² - 18x - 40 adalah (x + 2), (x + 5), dan (x - 4).