Terdapat populasi yang berpergian menggunakan sepatu dan

Berdasarkan sampel, peluang populasi yang menggunakan sepatu kurang dari 50% sangat kecil, karena sampel menunjukkan 75% menggunakan sepatu.

Pembahasan

Untuk menjawab pertanyaan ini, kita akan menggunakan uji hipotesis untuk proporsi.

Hipotesis Nol (H0): Proporsi populasi yang menggunakan sepatu kurang dari 50% (p < 0.5).
Hipotesis Alternatif (H1): Proporsi populasi yang menggunakan sepatu tidak kurang dari 50% (p >= 0.5).

Kita diberikan:
Jumlah sampel (n) = 8
Jumlah yang menggunakan sepatu (x) = 6
Proporsi sampel yang menggunakan sepatu (p-bar) = x/n = 6/8 = 0.75
Taraf nyata (alpha) = 5% = 0.05

Karena ukuran sampel kecil (n=8) dan kita menguji proporsi, kita akan menggunakan uji binomial atau uji eksak Fisher jika memungkinkan. Namun, dalam konteks ini, kita bisa melihat langsung dari data sampel.

Dalam sampel 8 orang, 6 orang menggunakan sepatu, yang berarti 75% dari sampel menggunakan sepatu. Ini lebih besar dari 50%.

Jika kita ingin menguji hipotesis \(H_0: p < 0.5\) vs \(H_1: p \ge 0.5\) berdasarkan sampel ini, kita bisa melihat bahwa data sampel mendukung \(H_1\) karena \(p-bar = 0.75\).

Untuk pengujian yang lebih formal dengan taraf nyata 5%:
Kita ingin menguji apakah proporsi populasi yang menggunakan sepatu kurang dari 50%. Sampel kita menunjukkan 75% menggunakan sepatu.

Jika kita ingin menguji \(H_0: p = 0.5\) vs \(H_1: p > 0.5\) (karena data awal kita 0.75 > 0.5), kita bisa menggunakan uji binomial.
Probabilitas mendapatkan 6 atau lebih orang menggunakan sepatu dalam sampel 8 jika proporsi sebenarnya adalah 0.5:
\(P(X \ge 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)\)
Menggunakan distribusi binomial dengan n=8 dan p=0.5:
\(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)
\(P(X=6) = \binom{8}{6} (0.5)^6 (0.5)^2 = 28 \times (0.5)^8 = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256}\)
\(P(X=7) = \binom{8}{7} (0.5)^7 (0.5)^1 = 8 \times (0.5)^8 = 8 \times \frac{1}{256} = \frac{8}{256}\)
\(P(X=8) = \binom{8}{8} (0.5)^8 (0.5)^0 = 1 	imes (0.5)^8 = 1 	imes \frac{1}{256} = \frac{1}{256}\)

\(P(X \ge 6) = \frac{28}{256} + \frac{8}{256} + \frac{1}{256} = \frac{37}{256} \approx 0.1445\)

Karena nilai p (0.1445) lebih besar dari taraf nyata (0.05), kita gagal menolak hipotesis nol. Ini berarti kita tidak memiliki cukup bukti untuk menyatakan bahwa proporsi populasi yang menggunakan sepatu kurang dari 50%.

Namun, pertanyaan spesifiknya adalah "tentukan peluang populasi yang menggunakan sepatu kurang dari 50%." Ini bukan pertanyaan tentang uji hipotesis, melainkan meminta estimasi peluang atau kesimpulan berdasarkan data.

Berdasarkan sampel yang ada, 75% menggunakan sepatu. Ini bertentangan dengan asumsi bahwa kurang dari 50% menggunakan sepatu. Oleh karena itu, peluang populasi yang menggunakan sepatu kurang dari 50% berdasarkan sampel ini sangat kecil, karena sampel yang diambil menunjukkan tren sebaliknya.