Titik batas halaman belakang rumah adalah W(20,30),

5:2

Pembahasan

Kita perlu mencari luas daerah rumput dan daerah kebun terlebih dahulu. Koordinat titik batas halaman belakang adalah W(20,30), X(20,100), Y(120,100), dan Z(60,30).
Halaman belakang dapat dianggap sebagai sebuah trapesium WXYZ. Namun, karena garis XZ membagi halaman, kita perlu menghitung luas dua bagian yang terbentuk.

Bagian 1 (misalnya di bawah garis XZ):
Ini adalah trapesium dengan titik W(20,30), Z(60,30), dan proyeksi titik X dan Y pada garis y=30. Namun, lebih mudah kita gunakan koordinat yang diberikan.
Kita bisa membagi bangun WXYZ menjadi persegi panjang dan segitiga atau menggunakan rumus luas poligon.

Cara lain adalah dengan membagi halaman menjadi dua bagian oleh garis XZ.
Perhatikan bahwa W dan Z memiliki koordinat y yang sama (30), sehingga WZ adalah garis horizontal.
X dan Y memiliki koordinat y yang sama (100), sehingga XY adalah garis horizontal.
WX adalah garis vertikal.

Kita dapat menghitung luas total halaman belakang, lalu menghitung luas salah satu bagian yang dibentuk oleh garis XZ.

Misalkan kita hitung luas trapesium WXY'Z' di mana Y' dan Z' adalah proyeksi Y dan Z pada garis y=100.
Ini tidak tepat. Mari kita gunakan pendekatan dengan membagi menjadi bentuk-bentuk yang lebih sederhana.

Perhatikan bahwa titik W(20,30) dan Z(60,30) terletak pada garis y=30. Jarak horizontal antara W dan Z adalah 60 - 20 = 40.
Titik X(20,100) dan Y(120,100) terletak pada garis y=100. Jarak horizontal antara X dan Y adalah 120 - 20 = 100.

Kita dapat membagi halaman belakang menjadi sebuah persegi panjang dan dua segitiga atau menggunakan rumus luas trapesium jika kita menganggapnya sebagai satu bangun.

Mari kita anggap WXYZ sebagai sebuah bangun. Kita bisa memproyeksikan W dan Z ke garis y=100. Namun, ini akan rumit. 

Cara yang lebih mudah adalah dengan membagi bangun menjadi persegi panjang dan segitiga:
Buat titik P(20,100) dan Q(120,30).
Bangun WXYZ dapat dipecah menjadi:
1. Persegi panjang WX'X'' (dengan X'(20,100) dan X''(20,30)) - ini salah, WX adalah sisi vertikal.

Mari kita gunakan koordinat secara langsung. Kita bisa membagi WXYZ menjadi beberapa bagian:
1. Persegi panjang dengan sudut (20,30), (60,30), (60,100), (20,100). Luasnya = (60-20) * (100-30) = 40 * 70 = 2800.
Ini salah karena titik Y bukan (60,100).

Mari kita bagi bangun menjadi: 
1. Trapesium WXZ'Z dengan Z'(20,100) = X. Jadi WXZX. Ini salah.

Kita bisa menggunakan metode shoelace formula untuk luas poligon:
Koordinat: (20,30), (20,100), (120,100), (60,30).
Luas = 0.5 * |(x1y2 + x2y3 + x3y4 + x4y1) - (y1x2 + y2x3 + y3x4 + y4x1)|
Luas = 0.5 * |(20*100 + 20*100 + 120*30 + 60*30) - (30*20 + 100*120 + 100*60 + 30*20)|
Luas = 0.5 * |(2000 + 2000 + 3600 + 1800) - (600 + 12000 + 6000 + 600)|
Luas = 0.5 * |(9400) - (19200)|
Luas = 0.5 * |-9800| = 4900 m^2.

Sekarang kita perlu mencari luas daerah yang dibatasi oleh garis XZ.
Garis XZ menghubungkan X(20,100) dan Z(60,30).
Persamaan garis XZ: gradien m = (30-100)/(60-20) = -70/40 = -7/4.
Persamaan: y - 30 = -7/4 (x - 60)
4(y - 30) = -7(x - 60)
4y - 120 = -7x + 420
7x + 4y = 540.

Sekarang kita perlu menentukan daerah mana yang lebih besar. Garis XZ membagi halaman menjadi dua daerah. 

Daerah 1 (misalnya di bawah garis XZ): Ini termasuk titik W(20,30). Mari kita uji W ke dalam persamaan garis.
7(20) + 4(30) = 140 + 120 = 260. Karena 260 < 540, maka daerah di bawah garis XZ adalah 7x + 4y < 540.

Daerah 2 (di atas garis XZ): Ini termasuk titik Y(120,100). Mari kita uji Y ke dalam persamaan garis.
7(120) + 4(100) = 840 + 400 = 1240. Karena 1240 > 540, maka daerah di atas garis XZ adalah 7x + 4y > 540.

Luas daerah 1 (7x + 4y < 540) dan daerah 2 (7x + 4y > 540).

Kita bisa membagi bangun WXYZ menjadi sebuah persegi panjang dan dua segitiga.
Buat titik A(20,30), B(60,30), C(60,100), D(20,100).
Ini adalah persegi panjang WX'Z''Z dengan X'=(60,100). Ini salah.

Mari kita pecah WXYZ menjadi:
1. Trapesium WX'Z dengan X'(20,100) = X. Ini adalah trapesium WX Z'. W(20,30), X(20,100), Z(60,30).
   Ini adalah segitiga siku-siku jika kita melihat proyeksi pada sumbu x dan y. 

Lebih mudah membagi menjadi:
1. Trapesium W(20,30), (20,100)=X, (60,100)=X', (60,30)=Z. Luasnya = 0.5 * (WZ + XX') * WX = 0.5 * (40 + 70) * 40 = 0.5 * 110 * 40 = 2200. Ini tidak memanfaatkan Y.

Kita gunakan pendekatan membagi bangun menjadi dua bagian oleh garis XZ.

Bagian 1: Dibentuk oleh W(20,30), X(20,100), Z(60,30).
Ini adalah trapesium WX Z' Z, di mana Z' adalah (60,100).
Ini adalah trapesium W(20,30) - X(20,100) - (60,100) - Z(60,30).
Luas = 0.5 * (sisi sejajar) * tinggi
Sisi sejajar adalah jarak vertikal pada x=20 (100-30=70) dan jarak vertikal pada x=60 (anggap y=100, maka 100-30=70).
Ini adalah persegi panjang. Ini salah.

Mari kita gunakan pembagian yang tepat:
Bangun WXYZ dapat dipecah menjadi:
1. Trapesium W(20,30) - X(20,100) - (120,100) - (120,30).
   Ini bukan cara memecah.

Perhatikan bangun WXYZ. Garis XZ membaginya.

Daerah 1: Dibentuk oleh W(20,30), X(20,100), Z(60,30).
Ini adalah trapesium dengan sisi sejajar WZ' dan XX', di mana Z' adalah (60,100).
Ini adalah trapesium dengan alas horizontal WZ (panjang 40) dan XX' (panjang 70).
Ini bukan trapesium dengan alas horizontal.

Mari kita lihat koordinat lagi:
W(20,30), X(20,100), Y(120,100), Z(60,30).

Kita bisa membagi bangun menjadi:
1. Persegi panjang dari (20,30) sampai (60,100).
   Titik-titik: (20,30), (60,30), (60,100), (20,100).
   Luas = (60-20) * (100-30) = 40 * 70 = 2800.
   Titik W(20,30) dan Z(60,30) ada di alas. Titik X(20,100) ada di sisi kiri atas. Titik (60,100) adalah Z'.
   Ini membentuk trapesium WXZ'.

Mari kita lihat bangun WXYZ sebagai berikut:
Kita bisa memproyeksikan semua titik ke sumbu x.

Luas bangun WXYZ = 4900 m^2.

Garis XZ membagi halaman.

Hitung luas daerah di bawah garis XZ:
Ini dibatasi oleh W(20,30), Z(60,30), dan segmen garis XZ.
Ini adalah sebuah trapesium dengan alas sejajar WZ (di y=30) dan proyeksi titik X dan Z pada garis y=30.
Ini adalah trapesium W Z Z' X, di mana Z'=(60,30).

Mari kita hitung luas daerah yang dibatasi oleh W(20,30), Z(60,30), dan garis XZ.
Ini adalah daerah di bawah garis XZ yang juga berada dalam batas halaman.

Perhatikan bahwa W dan Z berada pada y=30. Garis XZ melewati X(20,100) dan Z(60,30).

Daerah 1 (di bawah XZ): Dibatasi oleh segmen WZ, segmen WX, dan segmen XZ.
Ini adalah trapesium W X Z' Z, di mana Z'=(60,100).
Ini adalah trapesium dengan sisi sejajar WX (panjang 70, di x=20) dan Z Z'' (panjang 70, di x=60).
Ini adalah trapesium dengan alas horizontal WZ (panjang 40) dan segmen vertikal.

Mari kita hitung luas bagian bawah (yang berisi W). 
Bagian ini dibentuk oleh titik-titik W(20,30), Z(60,30), dan bagian dari garis XZ.

Kita bisa membagi WXYZ menjadi:
1. Persegi panjang dengan sudut (20,30), (60,30), (60,100), (20,100). Luas = 40 * 70 = 2800.
   Ini adalah W Z Z' X, di mana Z'=(60,100).
2. Segitiga dengan sudut (60,30), (120,100), (60,100).
   Alas = jarak vertikal dari (60,30) ke (60,100) = 70.
Tinggi = jarak horizontal dari (60,100) ke (120,100) = 60.
Luas = 0.5 * 70 * 60 = 2100.

Total Luas = 2800 + 2100 = 4900 m^2. (Sesuai dengan shoelace formula).

Garis XZ membagi menjadi:

Daerah 1 (di bawah XZ, termasuk W): Dibatasi oleh W(20,30), Z(60,30), dan segmen XZ.
Kita bisa menghitung luas trapesium W X Z'' Z, di mana Z''=(60,30).
Ini adalah trapesium dengan alas sejajar WZ (di y=30, panjang 40) dan XX' (di x=20, panjang 70).
Ini bukan trapesium.

Mari kita lihat area di bawah garis XZ (7x + 4y < 540).
Titik W(20,30) ada di daerah ini. Luas daerah ini perlu dihitung.

Kita bisa menghitung luas segitiga di atas garis XZ dan luas di bawah garis XZ.

Luas daerah kebun (misalnya di bawah XZ):
Dibatasi oleh W(20,30), Z(60,30), dan segmen XZ.
Kita bisa memproyeksikan X ke garis y=30, yaitu X'=(20,30)=W. Ini salah.

Mari kita hitung luas trapesium W X Z'' Z, di mana Z''=(60,100).
Ini adalah trapesium W(20,30), X(20,100), Z''(60,100), Z(60,30).
Luas = 0.5 * (WX + Z''Z) * WZ (jarak horisontal).
Ini bukan trapesium dengan alas horizontal.

Mari kita gunakan pembagian yang benar:
Area di bawah garis XZ:
Ini adalah daerah yang dibatasi oleh W(20,30), Z(60,30), dan segmen XZ.
Kita bisa melihatnya sebagai trapesium W(20,30), Z(60,30), (60,y_XZ_at_60), (20,y_XZ_at_20).

Garis XZ: 7x + 4y = 540.
Pada x=20, 7(20) + 4y = 540 => 140 + 4y = 540 => 4y = 400 => y = 100. Ini titik X.
Pada x=60, 7(60) + 4y = 540 => 420 + 4y = 540 => 4y = 120 => y = 30. Ini titik Z.

Luas daerah 1 (di bawah XZ): Dibatasi oleh W(20,30), Z(60,30), dan segmen XZ.
Ini adalah trapesium dengan titik (20,30), (60,30), (60,30), (20,100).

Mari kita gunakan pembagian berdasarkan sumbu y:
Luas di bawah garis y=30: tidak ada area.

Mari kita hitung luas bagian yang dibentuk oleh W, X, Z.
Ini adalah trapesium W(20,30), X(20,100), (60,100), Z(60,30).
Luas = 0.5 * (70 + 70) * 40 = 0.5 * 140 * 40 = 2800. Ini trapesium W X Z' Z di mana Z'=(60,100).

Bagian kedua adalah segitiga Y(120,100), Z(60,30), Z'(60,100).
Alas ZZ' = 70. Tinggi = 120 - 60 = 60.
Luas = 0.5 * 70 * 60 = 2100.

Total luas = 2800 + 2100 = 4900.

Garis XZ membagi area.

Daerah di bawah XZ (yang berisi W): Dibatasi oleh W(20,30), Z(60,30), dan segmen XZ.
Kita bisa menghitung ini sebagai luas trapesium W(20,30), Z(60,30), Z_on_XZ(60,30), X_on_XZ(20,100).
Ini adalah trapesium dengan alas horizontal WZ (panjang 40).

Perhatikan bahwa W(20,30) dan Z(60,30) terletak pada garis y=30.
Titik X(20,100) terletak di atas W.
Garis XZ menghubungkan X(20,100) dan Z(60,30).

Daerah 1 (kebun, di bawah XZ): Dibatasi oleh W(20,30), Z(60,30), dan segmen XZ.
Ini adalah trapesium dengan titik-titik (20,30), (60,30), (60,30), (20,100).

Mari kita hitung luas trapesium W X X' Z, di mana X' = (60,100).
Luas = 0.5 * (WX + X'Z) * jarak horizontal.

Cara paling mudah adalah menghitung luas dua bagian yang dibentuk oleh garis XZ.

Bagian A: Dibatasi oleh W(20,30), X(20,100), Z(60,30).
Ini adalah trapesium dengan sisi sejajar WX (panjang 70) dan proyeksi Z pada x=20, yaitu (20,30).
Ini adalah trapesium dengan alas vertikal WX (panjang 70) dan jarak horisontal.

Mari kita hitung luas daerah yang dibentuk oleh titik-titik yang berada di bawah garis XZ.
Persamaan garis XZ: 7x + 4y = 540.
Titik W(20,30): 7(20) + 4(30) = 140 + 120 = 260 < 540. W ada di bawah.
Titik Y(120,100): 7(120) + 4(100) = 840 + 400 = 1240 > 540. Y ada di atas.

Luas daerah rumput (lebih besar) dan kebun (lebih kecil).

Luas Kebun (dibawah XZ):
Dibatasi oleh W(20,30), Z(60,30), dan segmen XZ.
Ini adalah trapesium dengan titik-titik (20,30), (60,30), (60,30), (20,100).

Kita perlu menghitung luas poligon W, Z, dan titik potong garis XZ dengan sumbu y=30 (yaitu Z) dan sumbu x=20 (yaitu X).

Luas daerah kebun = Luas trapesium W(20,30), X(20,100), (60,100), Z(60,30) dikurangi luas segitiga X(20,100), Y(120,100), (60,100).
Ini tidak benar.

Mari kita hitung luas daerah yang dibatasi oleh W(20,30), Z(60,30), dan garis XZ.
Ini adalah trapesium W X_on_XZ Z.

Luas di bawah garis XZ = Luas trapesium W(20,30) - X(20,100) - (60,100) - Z(60,30)   - Luas segitiga Y(120,100) - (60,100) - Z(60,30).
Ini salah.

Mari kita hitung luas daerah yang dibatasi oleh W(20,30), Z(60,30), dan segmen XZ.
Ini adalah trapesium dengan alas horizontal WZ (panjang 40) dan segmen vertikal.

Kita bisa membagi bangun WXYZ menjadi:
1. Trapesium W(20,30) - X(20,100) - (60,100) - Z(60,30). Luas = 2800.
2. Segitiga Y(120,100) - (60,100) - Z(60,30). Luas = 2100.

Garis XZ membagi bangun ini.

Luas daerah kebun (di bawah XZ): Dibatasi oleh W(20,30), Z(60,30), dan segmen XZ.
Ini adalah trapesium W(20,30), X(20,100), Z(60,30) dikurangi luas segitiga di atas XZ.

Luas daerah yang dibatasi oleh W, Z, dan segmen XZ:
Ini adalah trapesium dengan titik (20,30), (60,30), (60,30), (20,100).

Mari kita hitung luas trapesium WX'Z di mana X'=(20,100) = X.

Luas Kebun (di bawah XZ): 
Area di bawah garis XZ dari x=20 sampai x=60. 
Batas bawah adalah y=30. Batas atas adalah garis XZ (y = (540-7x)/4).
Luas = integral dari 20 sampai 60 [(540-7x)/4 - 30] dx
= integral dari 20 sampai 60 [135 - 7x/4 - 30] dx
= integral dari 20 sampai 60 [105 - 7x/4] dx
= [105x - 7x^2/8] dari 20 sampai 60
= (105*60 - 7*60^2/8) - (105*20 - 7*20^2/8)
= (6300 - 7*3600/8) - (2100 - 7*400/8)
= (6300 - 7*450) - (2100 - 7*50)
= (6300 - 3150) - (2100 - 350)
= 3150 - 1750 = 1400 m^2. (Luas Kebun)

Luas Rumput = Luas Total - Luas Kebun
= 4900 - 1400 = 3500 m^2.

Perbandingan Luas Rumput : Luas Kebun = 3500 : 1400
= 35 : 14
= 5 : 2.

Soal menyatakan luas daerah rumput lebih besar daripada daerah kebun. 3500 > 1400, jadi ini sesuai.

Perbandingan = Luas Rumput / Luas Kebun = 3500 / 1400 = 5/2.