Tulislah dengan satu notasi sigma! a. sigma k=1 n

a. sigma k=1 n (-24k), b. sigma m=1 18 m²

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menuliskan dua ekspresi yang melibatkan sigma (penjumlahan) ke dalam satu notasi sigma.

a. sigma k=1 n (3k-2)² - sigma k=1 n (3k+2)²
b. 2 sigma m=1 18 m² - sigma m=6 23 (m-5)²

Untuk menyelesaikannya, kita akan menggunakan sifat-sifat notasi sigma.

**Bagian a:**
Kita memiliki dua sigma dengan batas yang sama (k=1 sampai n). Kita bisa menggabungkannya:
$\	ext{sigma}_{k=1}^{n} (3k-2)^2 - 	ext{sigma}_{k=1}^{n} (3k+2)^2 = 	ext{sigma}_{k=1}^{n} [(3k-2)^2 - (3k+2)^2]$

Sekarang, kita ekspansi bagian dalam kurung:
$(3k-2)^2 = (3k)^2 - 2(3k)(2) + 2^2 = 9k^2 - 12k + 4$
$(3k+2)^2 = (3k)^2 + 2(3k)(2) + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4$

Selanjutnya, kita kurangkan:
$(9k^2 - 12k + 4) - (9k^2 + 12k + 4) = 9k^2 - 12k + 4 - 9k^2 - 12k - 4 = -24k$

Jadi, ekspresi gabungannya adalah:
$\	ext{sigma}_{k=1}^{n} (-24k)$

**Bagian b:**
Kita memiliki dua sigma dengan batas dan bentuk yang berbeda. Pertama, kita akan menyederhanakan kedua sigma tersebut.

Sigma pertama: $2 	ext{sigma}_{m=1}^{18} m^2$
Sigma kedua: $	ext{sigma}_{m=6}^{23} (m-5)^2$

Untuk sigma kedua, kita bisa melakukan substitusi. Misalkan $j = m-5$. Maka, ketika $m=6$, $j=1$. Ketika $m=23$, $j=18$. Sehingga, $	ext{sigma}_{m=6}^{23} (m-5)^2$ menjadi $	ext{sigma}_{j=1}^{18} j^2$.

Sekarang ekspresi menjadi:
$2 	ext{sigma}_{m=1}^{18} m^2 - 	ext{sigma}_{j=1}^{18} j^2$

Karena variabel indeks (m atau j) tidak mempengaruhi hasil penjumlahan, kita bisa menyatukannya:
$2 	ext{sigma}_{k=1}^{18} k^2 - 	ext{sigma}_{k=1}^{18} k^2$
(mengganti j dengan k untuk kesamaan)

$= (2-1) 	ext{sigma}_{k=1}^{18} k^2$
$= 	ext{sigma}_{k=1}^{18} k^2$

Jadi, penulisan ulang dalam satu notasi sigma adalah:
a. $\	ext{sigma}_{k=1}^{n} (-24k)$
b. $\	ext{sigma}_{m=1}^{18} m^2$ (atau $\	ext{sigma}_{k=1}^{18} k^2$)