Tunjukkan bahwa lim x -> 0 (1-cos x)/x = 0.

Dengan menggunakan identitas trigonometri (konjugat) atau deret Taylor, terbukti bahwa limitnya adalah 0.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0$, kita dapat menggunakan beberapa metode. Salah satu metode yang umum adalah dengan menggunakan identitas trigonometri dan mengalikan dengan bentuk konjugatnya atau menggunakan deret Taylor.

Metode 1: Menggunakan Konjugat
Kita kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari pembilang, yaitu $1 + \cos x$:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} \times \frac{1+\cos x}{1+\cos x} $$ 
$$ = \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos^2 x}{x(1+\cos x)} $$ 
Menggunakan identitas $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, maka $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$. 
$$ = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x(1+\cos x)} $$ 
Kita bisa menulis ulang ini sebagai:
$$ = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \times \frac{\sin x}{1+\cos x} \right) $$ 
Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$. 
$$ = 1 \times \frac{\sin 0}{1+\cos 0} $$ 
Karena $\sin 0 = 0$ dan $\cos 0 = 1$, maka:
$$ = 1 \times \frac{0}{1+1} = 1 \times \frac{0}{2} = 0 $$ 

Metode 2: Menggunakan Deret Taylor
Deret Taylor untuk $\cos x$ di sekitar $x=0$ adalah $1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$.
Maka, $1 - \cos x = 1 - (1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots) = \frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \dots$.
Jadi, limitnya menjadi:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \dots}{x} $$ 
$$ = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{2!} - \frac{x^3}{4!} + \dots \right) $$ 
Ketika $x \to 0$, semua suku akan menjadi nol.
$$ = 0 $$ 

Kedua metode menunjukkan bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0$.