Kelas 11Kelas 12mathTrigonometri
Untuk 0<=x<=2pi, tentukan himpunan penyelesaian dari setiap
Pertanyaan
Untuk $0 ext{ <= } x ext{ <= } 2 ext{pi}$, tentukan himpunan penyelesaian dari setiap sistem persamaan berikut. $ ext{sin } x - ext{sin } 3x = 0$ $ ext{sin } 3x - ext{cos } x = 0$
Solusi
Verified
Himpunan penyelesaian sin x - sin 3x = 0 adalah {$0, ext{pi}/4, 3 ext{pi}/4, ext{pi}, 5 ext{pi}/4, 7 ext{pi}/4, 2 ext{pi}$}. Himpunan penyelesaian sin 3x - cos x = 0 adalah {$ ext{pi}/8, ext{pi}/4, 5 ext{pi}/8, 9 ext{pi}/8, 5 ext{pi}/4, 13 ext{pi}/8$}.
Pembahasan
Soal ini meminta kita untuk menyelesaikan dua persamaan trigonometri dalam interval $0 ext{ <= } x ext{ <= } 2 ext{pi}$. Persamaan 1: $ ext{sin } x - ext{sin } 3x = 0$ $ ext{sin } 3x = ext{sin } x$ Ini terjadi ketika: 1) $3x = x + k ullet 2 ext{pi}$ $2x = k ullet 2 ext{pi}$ $x = k ullet ext{pi}$ Untuk k=0, $x=0$; untuk k=1, $x= ext{pi}$; untuk k=2, $x=2 ext{pi}$. 2) $3x = ( ext{pi} - x) + k ullet 2 ext{pi}$ $4x = ext{pi} + k ullet 2 ext{pi}$ $x = ext{pi}/4 + k ullet ext{pi}/2$ Untuk k=0, $x= ext{pi}/4$; untuk k=1, $x= ext{pi}/4 + ext{pi}/2 = 3 ext{pi}/4$; untuk k=2, $x= ext{pi}/4 + ext{pi} = 5 ext{pi}/4$; untuk k=3, $x= ext{pi}/4 + 3 ext{pi}/2 = 7 ext{pi}/4$. Himpunan penyelesaian untuk persamaan pertama adalah: {$0, ext{pi}/4, 3 ext{pi}/4, ext{pi}, 5 ext{pi}/4, 7 ext{pi}/4, 2 ext{pi}$}. Persamaan 2: $ ext{sin } 3x - ext{cos } x = 0$ $ ext{sin } 3x = ext{cos } x$ Kita bisa menggunakan identitas $ ext{cos } x = ext{sin } ( ext{pi}/2 - x)$. $ ext{sin } 3x = ext{sin } ( ext{pi}/2 - x)$ Ini terjadi ketika: 1) $3x = ( ext{pi}/2 - x) + k ullet 2 ext{pi}$ $4x = ext{pi}/2 + k ullet 2 ext{pi}$ $x = ext{pi}/8 + k ullet ext{pi}/2$ Untuk k=0, $x= ext{pi}/8$; untuk k=1, $x= ext{pi}/8 + ext{pi}/2 = 5 ext{pi}/8$; untuk k=2, $x= ext{pi}/8 + ext{pi} = 9 ext{pi}/8$; untuk k=3, $x= ext{pi}/8 + 3 ext{pi}/2 = 13 ext{pi}/8$. 2) $3x = ( ext{pi} - ( ext{pi}/2 - x)) + k ullet 2 ext{pi}$ $3x = ( ext{pi} - ext{pi}/2 + x) + k ullet 2 ext{pi}$ $3x = ext{pi}/2 + x + k ullet 2 ext{pi}$ $2x = ext{pi}/2 + k ullet 2 ext{pi}$ $x = ext{pi}/4 + k ullet ext{pi}$ Untuk k=0, $x= ext{pi}/4$; untuk k=1, $x= ext{pi}/4 + ext{pi} = 5 ext{pi}/4$; untuk k=2, $x= ext{pi}/4 + 2 ext{pi}$ (di luar interval). Himpunan penyelesaian untuk persamaan kedua adalah: {$ ext{pi}/8, ext{pi}/4, 5 ext{pi}/8, 9 ext{pi}/8, 5 ext{pi}/4, 13 ext{pi}/8$}. Soal ini meminta himpunan penyelesaian dari SETIAP sistem persamaan. Ini berarti kita harus menyajikan solusi untuk masing-masing persamaan secara terpisah, bukan mencari irisan atau gabungan. Himpunan penyelesaian untuk $ ext{sin } x - ext{sin } 3x = 0$ adalah {$0, ext{pi}/4, 3 ext{pi}/4, ext{pi}, 5 ext{pi}/4, 7 ext{pi}/4, 2 ext{pi}$}. Himpunan penyelesaian untuk $ ext{sin } 3x - ext{cos } x = 0$ adalah {$ ext{pi}/8, ext{pi}/4, 5 ext{pi}/8, 9 ext{pi}/8, 5 ext{pi}/4, 13 ext{pi}/8$}.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Persamaan Trigonometri, Identitas Trigonometri
Section: Persamaan Kosinus, Persamaan Tangen, Persamaan Sinus
Apakah jawaban ini membantu?