Untuk memenuhi biaya pendidikan, Syarif bekerja selama 20

21 cara

Pembahasan

Permasalahan ini berkaitan dengan kombinatorika, khususnya masalah distribusi objek yang identik (jam kerja) ke dalam keranjang yang berbeda (hari kerja).

Misalkan Syarif bekerja selama $h_J$ jam pada hari Jumat, $h_S$ jam pada hari Sabtu, dan $h_M$ jam pada hari Minggu.

Kita memiliki syarat-syarat berikut:
1. Total jam kerja adalah 20 jam: $h_J + h_S + h_M = 20$
2. Syarif harus bekerja paling sedikit 5 jam setiap hari: $h_J \ge 5$, $h_S \ge 5$, $h_M \ge 5$.

Untuk menyelesaikan ini, kita bisa menggunakan metode "bintang dan batang" atau substitusi.
Mari gunakan substitusi. Misalkan:
$h'_J = h_J - 5$, sehingga $h_J = h'_J + 5$, dengan $h'_J \ge 0$
$h'_S = h_S - 5$, sehingga $h_S = h'_S + 5$, dengan $h'_S \ge 0$
$h'_M = h_M - 5$, sehingga $h_M = h'_M + 5$, dengan $h'_M \ge 0$

Substitusikan ke dalam persamaan total jam kerja:
$(h'_J + 5) + (h'_S + 5) + (h'_M + 5) = 20$
$h'_J + h'_S + h'_M + 15 = 20$
$h'_J + h'_S + h'_M = 5$

Sekarang kita perlu mencari banyaknya solusi bilangan bulat non-negatif untuk persamaan ini. Ini adalah masalah klasik "stars and bars". Kita memiliki 5 "bintang" (total jam tambahan) yang perlu dibagi ke dalam 3 "keranjang" (hari Jumat, Sabtu, Minggu) menggunakan 2 "batang".

Banyaknya cara adalah C(n+k-1, k-1) atau C(n+k-1, n), di mana n adalah jumlah bintang (5) dan k adalah jumlah keranjang (3).

Banyaknya cara = C(5 + 3 - 1, 3 - 1) = C(7, 2)

C(7, 2) = 7! / (2! * (7-2)!) = 7! / (2! * 5!) = (7 * 6) / (2 * 1) = 42 / 2 = 21.

Jadi, banyaknya cara pengaturan lama jam kerja Syarif pada hari-hari tersebut adalah 21.