Kelas 12Kelas 11math3
Untuk setiap n bilangan asli, buktikan bahwa 1 + 3 + 5 +
Pertanyaan
Buktikan bahwa untuk setiap n bilangan asli, jumlah deret 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) sama dengan n^2.
Solusi
Verified
Pernyataan terbukti benar menggunakan induksi matematika.
Pembahasan
Kita akan membuktikan pernyataan "Untuk setiap n bilangan asli, 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2" menggunakan induksi matematika. Langkah 1: Basis Induksi Untuk n=1, sisi kiri adalah 2(1)-1 = 1. Sisi kanan adalah 1^2 = 1. Pernyataan berlaku untuk n=1. Langkah 2: Hipotesis Induksi Asumsikan pernyataan berlaku untuk suatu bilangan asli k, yaitu: 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k^2 Langkah 3: Langkah Induksi Kita harus membuktikan bahwa pernyataan berlaku untuk n=k+1, yaitu: 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2(k+1)-1) = (k+1)^2 Ambil sisi kiri dari pernyataan untuk n=k+1: [1 + 3 + 5 + ... + (2k-1)] + (2(k+1)-1) Berdasarkan hipotesis induksi, kita bisa mengganti bagian dalam kurung siku dengan k^2: k^2 + (2(k+1)-1) = k^2 + (2k + 2 - 1) = k^2 + 2k + 1 Ini adalah bentuk kuadrat sempurna dari (k+1): = (k+1)^2 Sisi kiri sama dengan sisi kanan untuk n=k+1. Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan "Untuk setiap n bilangan asli, 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2" terbukti benar.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Barisan Dan Deret, Induksi Matematika
Section: Pembuktian Dengan Induksi Matematika
Apakah jawaban ini membantu?