Untuk setiap n bilangan asli, buktikan bahwa 1 + 3 + 5 +

Pernyataan terbukti benar menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

Kita akan membuktikan pernyataan "Untuk setiap n bilangan asli, 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2" menggunakan induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n=1, sisi kiri adalah 2(1)-1 = 1. Sisi kanan adalah 1^2 = 1. Pernyataan berlaku untuk n=1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan pernyataan berlaku untuk suatu bilangan asli k, yaitu:
1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k^2

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita harus membuktikan bahwa pernyataan berlaku untuk n=k+1, yaitu:
1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2(k+1)-1) = (k+1)^2

Ambil sisi kiri dari pernyataan untuk n=k+1:
[1 + 3 + 5 + ... + (2k-1)] + (2(k+1)-1)

Berdasarkan hipotesis induksi, kita bisa mengganti bagian dalam kurung siku dengan k^2:
k^2 + (2(k+1)-1)
= k^2 + (2k + 2 - 1)
= k^2 + 2k + 1

Ini adalah bentuk kuadrat sempurna dari (k+1):
= (k+1)^2

Sisi kiri sama dengan sisi kanan untuk n=k+1. Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan "Untuk setiap n bilangan asli, 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2" terbukti benar.