|x-2|=3 x+1

x = 1/4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak $|x-2| = 3x+1$, kita perlu mempertimbangkan dua kasus berdasarkan definisi nilai mutlak:

Kasus 1: $x-2 
gtr 0$, yaitu $x 
gtr 2$. Dalam kasus ini, $|x-2| = x-2$.
Persamaan menjadi: $x-2 = 3x+1$
Kurangkan $x$ dari kedua sisi: $-2 = 2x+1$
Kurangkan 1 dari kedua sisi: $-3 = 2x$
Bagi dengan 2: $x = -3/2$

Kita perlu memeriksa apakah solusi ini memenuhi kondisi kasus 1 ($x 
gtr 2$). Karena $-3/2$ tidak lebih besar dari 2, maka $x = -3/2$ bukan solusi yang valid untuk kasus ini.

Kasus 2: $x-2 < 0$, yaitu $x < 2$. Dalam kasus ini, $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.
Persamaan menjadi: $-x+2 = 3x+1$
Tambahkan $x$ ke kedua sisi: $2 = 4x+1$
Kurangkan 1 dari kedua sisi: $1 = 4x$
Bagi dengan 4: $x = 1/4$

Kita perlu memeriksa apakah solusi ini memenuhi kondisi kasus 2 ($x < 2$). Karena $1/4$ lebih kecil dari 2, maka $x = 1/4$ adalah solusi yang valid.

Selanjutnya, kita harus memeriksa kedua solusi yang didapat (jika ada) ke dalam persamaan asli untuk memastikan tidak ada solusi asing (extraneous solutions). Persamaan asli adalah $|x-2| = 3x+1$. Juga, perlu diingat bahwa $3x+1$ harus non-negatif karena merupakan hasil dari nilai mutlak, sehingga $3x+1 
gtr 0$, atau $x 
gtr -1/3$.

Periksa $x = -3/2$: $|-3/2 - 2| = |-3/2 - 4/2| = |-7/2| = 7/2$. Sisi kanan: $3(-3/2) + 1 = -9/2 + 1 = -9/2 + 2/2 = -7/2$. Karena $7/2 
eq -7/2$, maka $x = -3/2$ memang bukan solusi.

Periksa $x = 1/4$: $|1/4 - 2| = |1/4 - 8/4| = |-7/4| = 7/4$. Sisi kanan: $3(1/4) + 1 = 3/4 + 1 = 3/4 + 4/4 = 7/4$. Karena $7/4 = 7/4$, maka $x = 1/4$ adalah solusi yang valid.

Jadi, satu-satunya solusi untuk persamaan $|x-2|=3x+1$ adalah $x=1/4$.