A, B , dan C berturut-turut adalah titik (0,5,5),(4,1,1) ,

Titik A, B, C kolinear karena vektor AC adalah kelipatan vektor AB. Vektor OC membagi dua sama besar sudut AOB karena cos(sudut AOC) = cos(sudut COB). C membagi AB dengan perbandingan 5:3.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa titik A(0,5,5), B(4,1,1), dan C(2 1/2, 2 1/2, 2 1/2) kolinear dan bahwa vektor OC membagi dua sama besar sudut AOB, serta mencari perbandingan di mana C membagi AB, kita akan menggunakan konsep vektor.

Misalkan O adalah titik asal (0,0,0). Maka vektor posisi dari titik-titik tersebut adalah:
vektor OA = [0, 5, 5]
vektor OB = [4, 1, 1]
vektor OC = [2.5, 2.5, 2.5]

a. Menunjukkan bahwa titik A, B, dan C kolinear:
Titik-titik A, B, dan C dikatakan kolinear jika vektor AB sejajar dengan vektor AC (atau vektor BC). Dua vektor sejajar jika salah satu merupakan kelipatan skalar dari yang lain.

vektor AB = vektor OB - vektor OA = [4-0, 1-5, 1-5] = [4, -4, -4]
vektor AC = vektor OC - vektor OA = [2.5-0, 2.5-5, 2.5-5] = [2.5, -2.5, -2.5]

Kita dapat melihat bahwa vektor AC = 0.625 * vektor AB (karena 2.5 = 0.625 * 4, -2.5 = 0.625 * -4, -2.5 = 0.625 * -4).
Karena vektor AC adalah kelipatan skalar dari vektor AB, maka titik A, B, dan C adalah kolinear.

Menunjukkan bahwa vektor OC membagi dua sama besar sudut AOB:
Ini berarti bahwa sudut antara vektor OA dan OC sama dengan sudut antara vektor OC dan OB.
Kita bisa menggunakan produk titik (dot product) untuk mencari kosinus sudut di antara dua vektor.

vektor OA . vektor OC = |vektor OA| |vektor OC| cos(sudut AOC)
vektor OC . vektor OB = |vektor OC| |vektor OB| cos(sudut COB)

vektor OA . vektor OC = (0 * 2.5) + (5 * 2.5) + (5 * 2.5) = 0 + 12.5 + 12.5 = 25
|vektor OA| = sqrt(0^2 + 5^2 + 5^2) = sqrt(0 + 25 + 25) = sqrt(50) = 5*sqrt(2)
|vektor OC| = sqrt(2.5^2 + 2.5^2 + 2.5^2) = sqrt(6.25 + 6.25 + 6.25) = sqrt(18.75) = sqrt(75/4) = 5*sqrt(3)/2

cos(sudut AOC) = (vektor OA . vektor OC) / (|vektor OA| |vektor OC|) = 25 / (5*sqrt(2) * 5*sqrt(3)/2) = 25 / (25*sqrt(6)/2) = 2 / sqrt(6) = 2*sqrt(6)/6 = sqrt(6)/3

vektor OC . vektor OB = (2.5 * 4) + (2.5 * 1) + (2.5 * 1) = 10 + 2.5 + 2.5 = 15
|vektor OB| = sqrt(4^2 + 1^2 + 1^2) = sqrt(16 + 1 + 1) = sqrt(18) = 3*sqrt(2)

cos(sudut COB) = (vektor OC . vektor OB) / (|vektor OC| |vektor OB|) = 15 / (5*sqrt(3)/2 * 3*sqrt(2)) = 15 / (15*sqrt(6)/2) = 2 / sqrt(6) = 2*sqrt(6)/6 = sqrt(6)/3

Karena cos(sudut AOC) = cos(sudut COB), maka sudut AOC = sudut COB. Oleh karena itu, vektor OC membagi dua sama besar sudut AOB.

b. Mencari perbandingan di mana C membagi AB:
Karena C membagi AB secara internal, kita dapat menggunakan rumus pembagian segmen garis.

vektor OC = (m * vektor OB + n * vektor OA) / (m + n)

Di mana m dan n adalah perbandingan, dan kita mencari nilai m/n.

vektor OC = [2.5, 2.5, 2.5]
vektor OA = [0, 5, 5]
vektor OB = [4, 1, 1]

[2.5, 2.5, 2.5] = (m * [4, 1, 1] + n * [0, 5, 5]) / (m + n)
[2.5, 2.5, 2.5] = [4m + 0n, m + 5n, m + 5n] / (m + n)

Kita bisa mengambil salah satu komponen, misalnya komponen x:
2.5 = (4m) / (m + n)
2.5(m + n) = 4m
2.5m + 2.5n = 4m
2.5n = 4m - 2.5m
2.5n = 1.5m
m/n = 2.5 / 1.5 = 25 / 15 = 5 / 3

Jadi, perbandingan di mana C membagi AB adalah 5:3.