Akar-akar persamaan x^(2)-2 x-2=0 adalah x_(1) dan x_(2) .

$x^2 - 8x + 4 = 0$

Pembahasan

Diketahui persamaan kuadrat $x^2 - 2x - 2 = 0$. Akar-akar persamaan ini adalah $x_1$ dan $x_2$.
Menurut Teorema Vieta, untuk persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$, jumlah akar-akarnya adalah $x_1 + x_2 = -b/a$ dan hasil kali akar-akarnya adalah $x_1 x_2 = c/a$.

Dalam kasus ini, $a=1$, $b=-2$, dan $c=-2$.
Maka:
Jumlah akar: $x_1 + x_2 = -(-2)/1 = 2$
Hasil kali akar: $x_1 x_2 = -2/1 = -2$

Kita diminta untuk mencari persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah $x_1^2$ dan $x_2^2$.
Misalkan akar-akar baru ini adalah $\alpha = x_1^2$ dan $\beta = x_2^2$.

Persamaan kuadrat baru dapat ditulis sebagai $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$.

Kita perlu mencari nilai $\alpha + \beta$ dan $\alpha \beta$:
1. $\alpha + \beta = x_1^2 + x_2^2$
Kita tahu bahwa $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$.
Maka, $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$.
Substitusikan nilai $x_1 + x_2 = 2$ dan $x_1 x_2 = -2$:
$x_1^2 + x_2^2 = (2)^2 - 2(-2)$
$x_1^2 + x_2^2 = 4 + 4$
$x_1^2 + x_2^2 = 8$
Jadi, $\alpha + \beta = 8$.

2. $\alpha \beta = x_1^2 x_2^2$
Kita bisa menulis ini sebagai $(x_1 x_2)^2$.
Substitusikan nilai $x_1 x_2 = -2$:
$\alpha \beta = (-2)^2$
$\alpha \beta = 4$
Jadi, $\alpha \beta = 4$.

Sekarang, substitusikan nilai $\alpha + \beta$ dan $\alpha \beta$ ke dalam bentuk persamaan kuadrat baru:
$x^2 - (8)x + (4) = 0$
$x^2 - 8x + 4 = 0$

Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_1^2$ dan $x_2^2$ adalah $x^2 - 8x + 4 = 0$.