Andaikan f(x)=(x-3)/(x+1) . Buktikan bahwa f(f(f(x)))=x

f(f(f(x))) = x terbukti dengan substitusi berulang.

Pembahasan

Untuk membuktikan f(f(f(x))) = x, kita perlu melakukan substitusi berulang.
Diketahui f(x) = (x-3)/(x+1).

Langkah 1: Hitung f(f(x))
f(f(x)) = f((x-3)/(x+1))
Substitusikan (x-3)/(x+1) ke dalam f(x):
f(f(x)) = [((x-3)/(x+1)) - 3] / [((x-3)/(x+1)) + 1]
Untuk menyederhanakan, samakan penyebut di pembilang dan penyebut:
f(f(x)) = [((x-3) - 3(x+1)) / (x+1)] / [((x-3) + (x+1)) / (x+1)]
Sederhanakan pembilang dan penyebut:
f(f(x)) = (x - 3 - 3x - 3) / (x - 3 + x + 1)
f(f(x)) = (-2x - 6) / (2x - 2)
f(f(x)) = -2(x + 3) / 2(x - 1)
f(f(x)) = -(x + 3) / (x - 1)
f(f(x)) = (x + 3) / (1 - x)

Langkah 2: Hitung f(f(f(x)))
f(f(f(x))) = f(f(f(x)))
Substitusikan (x+3)/(1-x) ke dalam f(x):
f(f(f(x))) = [((x+3)/(1-x)) - 3] / [((x+3)/(1-x)) + 1]
Samakan penyebut di pembilang dan penyebut:
f(f(f(x))) = [((x+3) - 3(1-x)) / (1-x)] / [((x+3) + (1-x)) / (1-x)]
Sederhanakan pembilang dan penyebut:
f(f(f(x))) = (x + 3 - 3 + 3x) / (x + 3 + 1 - x)
f(f(f(x))) = (4x) / 4
f(f(f(x))) = x

Jadi, terbukti bahwa f(f(f(x))) = x untuk x =/= +- 1.