Apakah fungsi-fungsi berikut merupakan fungsi bijektif?

a. Bukan, b. Ya, c. Ya

Pembahasan

Untuk menentukan apakah suatu fungsi bersifat bijektif, kita perlu memeriksa apakah fungsi tersebut bersifat injektif (satu-satu) dan subjektif (pada). Fungsi dikatakan injektif jika setiap elemen di kodomain dipetakan oleh paling banyak satu elemen di domain. Fungsi dikatakan subjektif jika setiap elemen di kodomain dipetakan oleh setidaknya satu elemen di domain.

a. f: R -> R, x -> x^2
Fungsi ini tidak injektif karena, misalnya, f(2) = 4 dan f(-2) = 4. Dua elemen berbeda di domain (2 dan -2) dipetakan ke elemen yang sama di kodomain (4).
Fungsi ini juga tidak subjektif karena kodomainnya adalah R (semua bilangan real), tetapi hasil kuadrat dari bilangan real selalu non-negatif. Jadi, tidak ada elemen di domain yang dipetakan ke bilangan negatif di kodomain.
Oleh karena itu, f(x) = x^2 bukan fungsi bijektif.

b. f: R -> R, x -> 2x + 4
Fungsi ini bersifat injektif karena jika f(x1) = f(x2), maka 2x1 + 4 = 2x2 + 4, yang menyiratkan 2x1 = 2x2, sehingga x1 = x2. Setiap elemen di kodomain memiliki tepat satu prapeta di domain.
Fungsi ini juga bersifat subjektif karena untuk setiap y di kodomain R, kita dapat menemukan x di domain R sedemikian sehingga f(x) = y. Kita bisa mengatur 2x + 4 = y, yang memberikan x = (y - 4)/2. Karena y adalah bilangan real, maka (y - 4)/2 juga merupakan bilangan real.
Karena fungsi ini injektif dan subjektif, maka f(x) = 2x + 4 adalah fungsi bijektif.

c. f:[0,2] -> [2,4], x -> x + 2
Fungsi ini bersifat injektif karena jika f(x1) = f(x2), maka x1 + 2 = x2 + 2, yang menyiratkan x1 = x2. Setiap elemen di kodomain [2,4] dipetakan oleh paling banyak satu elemen di domain [0,2].
Fungsi ini juga bersifat subjektif karena untuk setiap y di kodomain [2,4], kita dapat menemukan x di domain [0,2] sedemikian sehingga f(x) = y. Kita bisa mengatur x + 2 = y, yang memberikan x = y - 2. Jika y berada dalam [2,4], maka y - 2 berada dalam [0,2].
Karena fungsi ini injektif dan subjektif, maka f(x) = x + 2 adalah fungsi bijektif.