Banyaknya bilangan real a agar pertidaksamaan

4

Pembahasan

Kita diberikan pertidaksamaan |x^2 + 2ax + 3a| ≤ 2.
Pertidaksamaan ini dapat dipecah menjadi dua pertidaksamaan:
-2 ≤ x^2 + 2ax + 3a ≤ 2
Ini berarti kita memiliki dua pertidaksamaan yang harus dipenuhi secara bersamaan:
1) x^2 + 2ax + 3a ≥ -2  =>  x^2 + 2ax + 3a + 2 ≥ 0
2) x^2 + 2ax + 3a ≤ 2   =>  x^2 + 2ax + 3a - 2 ≤ 0

Tepat satu penyelesaian pada x berarti bahwa salah satu dari pertidaksamaan ini memiliki tepat satu solusi, dan solusi tersebut juga memenuhi pertidaksamaan lainnya, atau kedua pertidaksamaan tersebut memiliki solusi yang sama yaitu tepat satu nilai x.

Agar sebuah pertidaksamaan kuadrat memiliki tepat satu penyelesaian, diskriminannya harus sama dengan nol (D = b^2 - 4ac = 0).

Untuk pertidaksamaan 1: x^2 + 2ax + (3a + 2) ≥ 0
Diskriminan D1 = (2a)^2 - 4(1)(3a + 2) = 4a^2 - 12a - 8.
Agar D1 = 0, maka 4a^2 - 12a - 8 = 0  =>  a^2 - 3a - 2 = 0.
Dengan rumus abc, a = [3 ± sqrt((-3)^2 - 4(1)(-2))] / 2 = [3 ± sqrt(9 + 8)] / 2 = [3 ± sqrt(17)] / 2.
Jika D1 = 0, maka x^2 + 2ax + 3a + 2 = 0 memiliki satu solusi x = -2a/2 = -a.
Kita harus memeriksa apakah solusi x = -a ini memenuhi pertidaksamaan 2.
(-a)^2 + 2a(-a) + 3a - 2 ≤ 0
a^2 - 2a^2 + 3a - 2 ≤ 0
-a^2 + 3a - 2 ≤ 0
a^2 - 3a + 2 ≥ 0
(a - 1)(a - 2) ≥ 0.
Ini berarti a ≤ 1 atau a ≥ 2.

Sekarang, kita kembali ke nilai a dari D1 = 0: a = (3 + sqrt(17))/2 ≈ (3 + 4.12)/2 = 3.56 dan a = (3 - sqrt(17))/2 ≈ (3 - 4.12)/2 = -0.56.
Untuk a = (3 + sqrt(17))/2, ini memenuhi a ≥ 2, jadi ini adalah solusi yang valid.
Untuk a = (3 - sqrt(17))/2, ini memenuhi a ≤ 1, jadi ini juga solusi yang valid.

Untuk pertidaksamaan 2: x^2 + 2ax + (3a - 2) ≤ 0
Diskriminan D2 = (2a)^2 - 4(1)(3a - 2) = 4a^2 - 12a + 8.
Agar D2 = 0, maka 4a^2 - 12a + 8 = 0  =>  a^2 - 3a + 2 = 0.
(a - 1)(a - 2) = 0.
Maka a = 1 atau a = 2.
Jika D2 = 0, maka x^2 + 2ax + 3a - 2 = 0 memiliki satu solusi x = -2a/2 = -a.
Kita harus memeriksa apakah solusi x = -a ini memenuhi pertidaksamaan 1.
(-a)^2 + 2a(-a) + 3a + 2 ≥ 0
a^2 - 2a^2 + 3a + 2 ≥ 0
-a^2 + 3a + 2 ≥ 0
a^2 - 3a - 2 ≤ 0.
Dengan rumus abc, akar-akarnya adalah (3 ± sqrt(17))/2. Jadi, (3 - sqrt(17))/2 ≤ a ≤ (3 + sqrt(17))/2.

Sekarang, kita periksa nilai a dari D2 = 0:
Jika a = 1, maka 1^2 - 3(1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4 ≤ 0. Jadi a = 1 adalah solusi yang valid.
Jika a = 2, maka 2^2 - 3(2) - 2 = 4 - 6 - 2 = -4 ≤ 0. Jadi a = 2 adalah solusi yang valid.

Kita mencari banyaknya bilangan real 'a' agar pertidaksamaan memiliki tepat satu penyelesaian pada x.
Ini terjadi ketika:
Kasus 1: D1 = 0 dan solusi x=-a memenuhi pertidaksamaan 2.
   Nilai a adalah (3 ± sqrt(17))/2. Keduanya valid.
Kasus 2: D2 = 0 dan solusi x=-a memenuhi pertidaksamaan 1.
   Nilai a adalah 1 dan 2. Keduanya valid.

Jadi, ada 4 nilai a yang memenuhi kondisi tersebut: (3 + sqrt(17))/2, (3 - sqrt(17))/2, 1, dan 2.

Perlu diperhatikan bahwa jika D1 > 0 dan D2 < 0, atau D1 < 0 dan D2 > 0, kita perlu menganalisis rentang x.
Namun, pertanyaan secara spesifik menanyakan 'tepat satu penyelesaian pada x', yang paling mudah dicapai ketika diskriminan dari salah satu kuadratik adalah nol.

Analisis lebih lanjut:
Agar |f(x)| ≤ c memiliki tepat satu solusi, f(x) = c atau f(x) = -c harus memiliki tepat satu solusi, dan solusi tersebut juga memenuhi pertidaksamaan lainnya (jika ada). 
Atau, bisa jadi satu pertidaksamaan memiliki rentang solusi yang hanya terdiri dari satu titik, dan titik tersebut juga merupakan solusi dari pertidaksamaan lainnya.

Kita sudah menemukan nilai a ketika D1=0 dan D2=0. Mari kita periksa kemungkinan lain.
Misalkan x^2 + 2ax + 3a = k, di mana -2 ≤ k ≤ 2.
Jika k = 0, maka x^2 + 2ax + 3a = 0. Agar punya 1 solusi, D1 = 0, yaitu a = (3 ± sqrt(17))/2. Dalam kasus ini, |0| ≤ 2 terpenuhi.

Jika pertidaksamaan x^2 + 2ax + 3a - 2 ≤ 0 memiliki tepat satu solusi, maka D2 = 0, yaitu a = 1 atau a = 2. Solusinya adalah x = -a.
Jika a=1, pertidaksamaan menjadi |x^2 + 2x + 3| ≤ 2. Ini berarti -2 ≤ x^2 + 2x + 3 ≤ 2.
   x^2 + 2x + 3 ≥ -2 => x^2 + 2x + 5 ≥ 0. Diskriminan = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0. Karena koefisien x^2 positif, selalu positif, jadi semua x memenuhi.
   x^2 + 2x + 3 ≤ 2 => x^2 + 2x + 1 ≤ 0 => (x + 1)^2 ≤ 0. Ini hanya terpenuhi jika (x + 1)^2 = 0, yaitu x = -1. 
   Jadi, untuk a=1, pertidaksamaan memiliki tepat satu solusi x=-1.

Jika a=2, pertidaksamaan menjadi |x^2 + 4x + 6| ≤ 2. Ini berarti -2 ≤ x^2 + 4x + 6 ≤ 2.
   x^2 + 4x + 6 ≥ -2 => x^2 + 4x + 8 ≥ 0. Diskriminan = 4^2 - 4(1)(8) = 16 - 32 = -16 < 0. Selalu positif, semua x memenuhi.
   x^2 + 4x + 6 ≤ 2 => x^2 + 4x + 4 ≤ 0 => (x + 2)^2 ≤ 0. Ini hanya terpenuhi jika (x + 2)^2 = 0, yaitu x = -2.
   Jadi, untuk a=2, pertidaksamaan memiliki tepat satu solusi x=-2.

Jika pertidaksamaan x^2 + 2ax + 3a + 2 ≥ 0 memiliki tepat satu solusi, maka D1 = 0, yaitu a = (3 ± sqrt(17))/2. Solusinya adalah x = -a.
Jika a = (3 + sqrt(17))/2, pertidaksamaan menjadi |x^2 + (3 + sqrt(17))x + 3(3 + sqrt(17))/2| ≤ 2.
Kita tahu bahwa untuk D1=0, x^2 + 2ax + 3a + 2 = 0 memiliki solusi x = -a.
Jadi, x^2 + 2ax + 3a = -2.
Maka |x^2 + 2ax + 3a| = |-2| = 2.
Ini memenuhi |x^2 + 2ax + 3a| ≤ 2. Dan solusinya hanya x = -a.

Jadi, keempat nilai a tersebut (1, 2, (3+sqrt(17))/2, (3-sqrt(17))/2) adalah jawaban yang benar.