Diketahui tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika

Beda barisan aritmetika tersebut adalah 11/4.

Pembahasan

Misalkan ketiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika adalah a-b, a, a+b. Beda barisan aritmetika tersebut adalah b.

Diketahui:
1. Jika suku ketiga ditambah 2 dan suku kedua dikurangi 2 diperoleh barisan geometri.
   Suku pertama barisan geometri = a - b
   Suku kedua barisan geometri = a - 2
   Suku ketiga barisan geometri = (a + b) + 2 = a + b + 2

   Karena membentuk barisan geometri, maka berlaku:
   (Suku kedua)^2 = (Suku pertama) * (Suku ketiga)
   (a - 2)^2 = (a - b) * (a + b + 2)
   a^2 - 4a + 4 = a^2 + 2a - ab - b^2 - 2b  (Persamaan 1)

2. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 2, maka hasilnya menjadi 4 kali suku pertama.
   Suku pertama = a - b
   Suku ketiga + 2 = a + b + 2
   Sehingga:
   a + b + 2 = 4(a - b)
   a + b + 2 = 4a - 4b
   3a - 5b = 2  (Persamaan 2)

Sekarang kita selesaikan kedua persamaan tersebut.
Dari Persamaan 1:
   a^2 - 4a + 4 = a^2 + 2a - ab - b^2 - 2b
   -4a + 4 = 2a - ab - b^2 - 2b
   -6a + ab + b^2 + 2b + 4 = 0 (Persamaan 1 yang disederhanakan)

Dari Persamaan 2, kita bisa menyatakan a dalam bentuk b:
   3a = 5b + 2
   a = (5b + 2) / 3

Substitusikan nilai a ke dalam Persamaan 1 yang disederhanakan:
   -6((5b + 2) / 3) + ((5b + 2) / 3)b + b^2 + 2b + 4 = 0
   -2(5b + 2) + (5b^2 + 2b) / 3 + b^2 + 2b + 4 = 0
   -10b - 4 + (5b^2 + 2b) / 3 + b^2 + 2b + 4 = 0
   Kalikan seluruhnya dengan 3 untuk menghilangkan penyebut:
   -30b - 12 + 5b^2 + 2b + 3b^2 + 6b + 12 = 0
   Gabungkan suku-suku sejenis:
   8b^2 - 22b = 0
   2b(4b - 11) = 0

Dari sini kita mendapatkan dua kemungkinan nilai b:
   2b = 0  => b = 0 (Ini tidak mungkin karena jika b=0, maka ketiga bilangan tersebut sama, bukan barisan aritmetika yang berbeda)
   4b - 11 = 0 => 4b = 11 => b = 11/4

Jadi, beda barisan aritmetika tersebut adalah 11/4.