Banyaknya solusi bilangan bulat x dari sistem

Terdapat 20 solusi bilangan bulat.

Pembahasan

Untuk mencari banyaknya solusi bilangan bulat x dari sistem pertidaksamaan kuadrat, kita perlu menyelesaikan masing-masing pertidaksamaan terlebih dahulu:

1.  x^2 - 5x - 84 ≤ 0
    Faktorkan persamaan kuadrat x^2 - 5x - 84 = 0.
    (x - 12)(x + 7) = 0
    Akar-akarnya adalah x = 12 dan x = -7.
    Karena koefisien x^2 positif, parabola terbuka ke atas. Pertidaksamaan ≤ 0 berarti kita mencari daerah di bawah atau pada sumbu x.
    Jadi, solusinya adalah -7 ≤ x ≤ 12.

2.  2x^2 - 6x + 10 ≥ 0
    Kita bisa menyederhanakan dengan membagi 2: x^2 - 3x + 5 ≥ 0.
    Cari diskriminan (D) dari persamaan kuadrat x^2 - 3x + 5 = 0.
    D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(5) = 9 - 20 = -11.
    Karena diskriminan negatif (D < 0) dan koefisien x^2 positif, parabola selalu berada di atas sumbu x. Ini berarti pertidaksamaan ini berlaku untuk semua bilangan real (∀x ∈ R).

3.  -3x^2 + 4x - 1 ≤ 0
    Kita bisa mengalikan dengan -1 dan membalik tanda pertidaksamaan: 3x^2 - 4x + 1 ≥ 0.
    Faktorkan persamaan kuadrat 3x^2 - 4x + 1 = 0.
    (3x - 1)(x - 1) = 0
    Akar-akarnya adalah x = 1/3 dan x = 1.
    Karena koefisien x^2 positif, parabola terbuka ke atas. Pertidaksamaan ≥ 0 berarti kita mencari daerah di atas atau pada sumbu x.
    Jadi, solusinya adalah x ≤ 1/3 atau x ≥ 1.

Sekarang, kita perlu mencari irisan dari ketiga solusi tersebut:
- Solusi 1: [-7, 12]
- Solusi 2: (-∞, ∞)
- Solusi 3: (-∞, 1/3] ∪ [1, ∞)

Irisan dari Solusi 1 dan Solusi 2 adalah [-7, 12].
Sekarang kita cari irisan dari [-7, 12] dengan ((-∞, 1/3] ∪ [1, ∞)).

Irisannya adalah [-7, 1/3] ∪ [1, 12].

Kita mencari banyaknya solusi bilangan bulat x dalam rentang ini:
- Dari -7 hingga 1/3, bilangan bulatnya adalah: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0. (Ada 8 bilangan bulat)
- Dari 1 hingga 12, bilangan bulatnya adalah: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. (Ada 12 bilangan bulat)

Total banyaknya solusi bilangan bulat adalah 8 + 12 = 20.