Himpunan penyelesaian dari 1/3^(2x)-12/3^x+27-0 adalah ....

Himpunan penyelesaiannya adalah {-1, -2}.

Pembahasan

Soal ini meminta penyelesaian dari persamaan eksponensial yang melibatkan basis 3. Persamaan yang diberikan adalah: 1/3^(2x) - 12/3^x + 27 = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita bisa menggunakan substitusi untuk menyederhanakannya. Misalkan y = 3^x. Maka, 3^(2x) = (3^x)^2 = y^2.

Substitusi ini mengubah persamaan menjadi persamaan kuadrat dalam variabel y:
1/y^2 - 12/y + 27 = 0.

Untuk menghilangkan penyebut, kita kalikan seluruh persamaan dengan y^2 (dengan asumsi y ≠ 0, yang mana 3^x selalu positif, jadi y ≠ 0 terpenuhi):
1 - 12y + 27y^2 = 0.

Susun ulang persamaan kuadrat tersebut agar sesuai dengan bentuk standar ax^2 + bx + c = 0:
27y^2 - 12y + 1 = 0.

Sekarang kita bisa menyelesaikan persamaan kuadrat ini untuk y menggunakan rumus kuadrat (rumus abc): y = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a.
Dalam kasus ini, a = 27, b = -12, dan c = 1.

y = [ -(-12) ± sqrt((-12)^2 - 4 * 27 * 1) ] / (2 * 27)
y = [ 12 ± sqrt(144 - 108) ] / 54
y = [ 12 ± sqrt(36) ] / 54
y = [ 12 ± 6 ] / 54.

Kita mendapatkan dua solusi untuk y:
1. y1 = (12 + 6) / 54 = 18 / 54 = 1/3.
2. y2 = (12 - 6) / 54 = 6 / 54 = 1/9.

Sekarang kita perlu mencari nilai x dari y = 3^x menggunakan kedua solusi y tersebut.

Kasus 1: y = 1/3
3^x = 1/3
Karena 1/3 = 3^(-1), maka:
3^x = 3^(-1)
x = -1.

Kasus 2: y = 1/9
3^x = 1/9
Karena 1/9 = 1/(3^2) = 3^(-2), maka:
3^x = 3^(-2)
x = -2.

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah {-1, -2}.