Bentuk sederhana dari (2(sin x+cos x))/(sin 2x+cos 2x+1)

Bentuk sederhananya adalah sec x.

Pembahasan

Untuk menyederhanakan bentuk ((2(sin x + cos x)) / (sin 2x + cos 2x + 1)), kita perlu menggunakan identitas trigonometri yang relevan.

Pertama, kita tahu bahwa sin 2x = 2 sin x cos x.
Kedua, kita bisa menggunakan identitas cos 2x. Ada tiga bentuk untuk cos 2x: cos^2 x - sin^2 x, 2 cos^2 x - 1, atau 1 - 2 sin^2 x. Mari kita pilih salah satu yang paling sesuai untuk disubstitusikan nanti.
Ketiga, kita tahu bahwa 1 = sin^2 x + cos^2 x.

Mari kita substitusikan sin 2x ke dalam penyebut:
Sin 2x + cos 2x + 1 = 2 sin x cos x + cos 2x + (sin^2 x + cos^2 x)

Sekarang, mari kita gunakan identitas cos 2x = 2 cos^2 x - 1 agar kita bisa memfaktorkan:
Sin 2x + cos 2x + 1 = 2 sin x cos x + (2 cos^2 x - 1) + (sin^2 x + cos^2 x)
= 2 sin x cos x + 2 cos^2 x - 1 + sin^2 x + cos^2 x

Perhatikan bahwa -1 + cos^2 x + sin^2 x = -1 + 1 = 0. Jadi, persamaan menjadi:
= 2 sin x cos x + 2 cos^2 x

Sekarang kita bisa memfaktorkan 2 cos x dari penyebut:
= 2 cos x (sin x + cos x)

Jadi, bentuk sederhana dari ((2(sin x + cos x)) / (sin 2x + cos 2x + 1)) adalah:
= (2(sin x + cos x)) / (2 cos x (sin x + cos x))

Kita bisa membatalkan (2(sin x + cos x)) dari pembilang dan penyebut (dengan asumsi sin x + cos x ≠ 0):
= 1 / cos x

Dan kita tahu bahwa 1/cos x adalah sec x.

Jadi, bentuk sederhana dari ((2(sin x + cos x)) / (sin 2x + cos 2x + 1)) adalah sec x.