Bonar memiliki dua pekerjaan paruh waktu. Untuk mengantar

Bonar harus bekerja minimal 6.5 jam mengantar barang dan maksimal 10 jam total.

Pembahasan

a. Misalkan x adalah jumlah jam kerja mengantar barang dan y adalah jumlah jam kerja mencuci piring.
   Jumlah uang yang diperoleh: 15000x + 9000y
   Jumlah jam kerja: x + y <= 10
   Jumlah uang yang dibutuhkan: 15000x + 9000y >= 120000
   Karena jumlah jam kerja tidak mungkin negatif, maka x >= 0 dan y >= 0.
   Model matematika: 
   x + y <= 10
   15000x + 9000y >= 120000 (atau disederhanakan menjadi 5x + 3y >= 40)
   x >= 0
   y >= 0

b. Ya, model matematika tersebut merupakan sistem pertidaksamaan linear karena semua variabelnya berpangkat satu dan tidak ada perkalian antar variabel.

c. Grafik dapat digambarkan dengan menentukan titik potong sumbu x dan sumbu y untuk setiap pertidaksamaan:
   Untuk x + y <= 10:
     Jika x=0, y=10 -> (0, 10)
     Jika y=0, x=10 -> (10, 0)
   Untuk 5x + 3y >= 40:
     Jika x=0, 3y=40, y=40/3 ≈ 13.33 -> (0, 13.33)
     Jika y=0, 5x=40, x=8 -> (8, 0)
   Gambarkan kedua garis tersebut dan arsir daerah yang memenuhi.

d. Untuk menemukan titik potong kedua garis, kita selesaikan sistem persamaan linear:
   x + y = 10  => y = 10 - x
   5x + 3y = 40
   Substitusikan y = 10 - x ke persamaan kedua:
   5x + 3(10 - x) = 40
   5x + 30 - 3x = 40
   2x = 10
   x = 5
   Substitusikan x = 5 ke y = 10 - x:
   y = 10 - 5
   y = 5
   Jadi, koordinat titik potongnya adalah (5, 5).

e. Daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear adalah daerah yang berada di bawah atau pada garis x + y = 10, di atas atau pada garis 5x + 3y = 40, dan berada di kuadran pertama (karena x >= 0 dan y >= 0). Daerah ini adalah daerah yang dibatasi oleh titik (5, 5), (10, 0), dan titik potong sumbu y dari 5x+3y=40 dengan sumbu y jika dibatasi x+y<=10, atau titik potong sumbu x dari x+y=10 dengan sumbu x jika dibatasi 5x+3y>=40. Dalam kasus ini, titik potongnya adalah (5,5), (8,0) dan (10,0) tidak masuk dalam batasan x+y<=10 jika y>=0. Jadi daerah yang memenuhi adalah segiempat dengan titik sudut (5,5), (8,0), (10,0) dan titik potong sumbu x dengan 5x+3y=40 jika y bernilai 0, yaitu (8,0). Serta titik (5,5) dan titik potong sumbu y dengan x+y=10 yaitu (0,10). Sebenarnya daerah yang memenuhi dibatasi oleh titik (5,5), (8,0) dan (0,10) yang berasal dari garis-garis yang dibatasi oleh nilai positif x dan y. Jadi daerah penyelesaiannya adalah segitiga dengan titik sudut (5,5), (8,0), dan (0,10). Namun, karena ada batasan x+y<=10, maka titik (0,10) memenuhi, dan titik (8,0) memenuhi. Daerah yang memenuhi adalah poligon yang dibentuk oleh titik (5,5), (8,0), dan (0,10) jika kita membatasi x dan y hanya pada garis 5x+3y=40. Dengan adanya batasan x+y<=10, maka daerah yang memenuhi adalah segitiga dengan titik sudut (5,5), (8,0) dan (0,10) tetapi dibatasi oleh garis x+y=10, sehingga titik sudutnya adalah (5,5), (8,0), dan (0,10) yang memenuhi x+y<=10.
Mari kita perjelas daerah yang memenuhi:
1. x + y <= 10: Daerah di bawah garis yang menghubungkan (0,10) dan (10,0).
2. 5x + 3y >= 40: Daerah di atas garis yang menghubungkan (8,0) dan (0, 40/3).
3. x >= 0, y >= 0: Kuadran pertama.

Daerah yang memenuhi adalah irisan dari ketiga daerah tersebut. Ini adalah daerah berbentuk segitiga dengan titik-titik sudut (5, 5), (8, 0), dan titik perpotongan garis x+y=10 dengan sumbu y (yaitu (0,10)), namun perlu dicek apakah titik (0,10) memenuhi 5x+3y>=40. 5(0)+3(10) = 30, yang TIDAK lebih besar atau sama dengan 40. Jadi (0,10) bukan bagian dari daerah yang memenuhi. Titik (8,0) memenuhi kedua pertidaksamaan. Titik (5,5) memenuhi kedua pertidaksamaan. Maka daerah yang memenuhi adalah segitiga dengan titik sudut (5,5), (8,0), dan titik potong sumbu y dari 5x+3y=40 jika dibatasi oleh x+y<=10. Yaitu titik (8,0), (5,5) dan titik potong sumbu x dari x+y=10 dengan sumbu x, yaitu (10,0). Namun, kita perlu memastikan batasan 5x+3y>=40. Untuk (10,0), 5(10)+3(0)=50>=40. Jadi daerah yang memenuhi adalah segitiga dengan titik sudut (5,5), (8,0), dan (10,0).

f. Jika Bonar bekerja mengantar barang selama 4 jam (x=4), maka untuk mendapatkan uang Rp120.000,00, ia harus bekerja mencuci piring selama:
   15000(4) + 9000y >= 120000
   60000 + 9000y >= 120000
   9000y >= 60000
   y >= 60000/9000
   y >= 6.67 jam
   Total jam kerja: x + y = 4 + 6.67 = 10.67 jam. Karena dia tidak dapat bekerja lebih dari 10 jam, maka dia tidak bisa mendapatkan uang yang dibutuhkan hanya dengan bekerja mengantar barang selama 4 jam.
   Jawaban: Tidak bisa.

g. Jika Bonar bekerja selama 9 jam (x + y = 9), maka untuk mendapatkan uang Rp120.000,00, dia perlu memaksimalkan pendapatannya. Pendapatan maksimum terjadi jika dia bekerja lebih banyak pada pekerjaan dengan bayaran lebih tinggi (mengantar barang).
   Jika dia bekerja 9 jam mengantar barang (x=9, y=0):
   Pendapatan = 15000(9) + 9000(0) = 135000.
   Dalam kasus ini, dia bisa mendapatkan uang yang dibutuhkan.
   Jika dia bekerja 0 jam mengantar barang dan 9 jam mencuci piring (x=0, y=9):
   Pendapatan = 15000(0) + 9000(9) = 81000. Ini tidak cukup.
   Misalkan x jam mengantar barang dan y jam mencuci piring, dengan x+y=9 dan 15000x + 9000y >= 120000.
   Dari x+y=9, y=9-x.
   15000x + 9000(9-x) >= 120000
   15000x + 81000 - 9000x >= 120000
   6000x >= 120000 - 81000
   6000x >= 39000
   x >= 39000/6000
   x >= 6.5 jam
   Jadi, Bonar harus bekerja minimal 6.5 jam mengantar barang dan sisanya (9 - 6.5 = 2.5 jam) mencuci piring. Karena 6.5 jam bekerja mengantar barang dan 2.5 jam mencuci piring totalnya 9 jam dan menghasilkan 15000*6.5 + 9000*2.5 = 97500 + 22500 = 120000, maka dia bisa mendapatkan uang yang dibutuhkan.
   Jawaban: Ya, bisa.