Buatlah sketsa grafik setiap fungsi berikut. y=x^3-3x^2

Sketsa grafik menunjukkan titik potong sumbu di (0,0) dan (3,0), maksimum lokal di (0,0), dan minimum lokal di (2,-4). Kurva naik dari kiri bawah ke (0,0), turun ke (2,-4), lalu naik lagi ke kanan atas.

Pembahasan

Soal ini meminta untuk membuat sketsa grafik dari fungsi y = x^3 - 3x^2. Untuk membuat sketsa grafik, kita perlu menganalisis beberapa fitur fungsi, seperti titik potong sumbu, titik stasioner (maksimum/minimum lokal), dan perilaku fungsi saat x mendekati tak hingga.

Langkah-langkah:
1.  **Titik Potong Sumbu y:**
    Untuk mencari titik potong sumbu y, kita substitusikan x = 0 ke dalam fungsi:
y = (0)^3 - 3(0)^2
y = 0
    Jadi, grafik memotong sumbu y di titik (0, 0).

2.  **Titik Potong Sumbu x:**
    Untuk mencari titik potong sumbu x, kita atur y = 0:
    0 = x^3 - 3x^2
    Faktorkan x^2:
    0 = x^2(x - 3)
    Ini memberikan solusi x = 0 (akar kembar) dan x = 3.
    Jadi, grafik memotong sumbu x di titik (0, 0) dan (3, 0).

3.  **Titik Stasioner (Maksimum/Minimum Lokal):**
    Untuk mencari titik stasioner, kita perlu mencari turunan pertama fungsi (y') dan menyetelnya sama dengan nol.
    y = x^3 - 3x^2
    y' = 3x^2 - 6x

    Atur y' = 0:
    3x^2 - 6x = 0
    Faktorkan 3x:
    3x(x - 2) = 0
    Ini memberikan nilai kritis x = 0 dan x = 2.

    Sekarang, kita cari nilai y pada titik-titik kritis ini:
    - Untuk x = 0: y = (0)^3 - 3(0)^2 = 0. Titik (0, 0).
    - Untuk x = 2: y = (2)^3 - 3(2)^2 = 8 - 3(4) = 8 - 12 = -4. Titik (2, -4).

    Untuk menentukan apakah titik-titik ini adalah maksimum lokal atau minimum lokal, kita gunakan turunan kedua (y'').
    y' = 3x^2 - 6x
    y'' = 6x - 6

    - Untuk x = 0: y'' = 6(0) - 6 = -6. Karena y'' < 0, maka titik (0, 0) adalah maksimum lokal.
    - Untuk x = 2: y'' = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6. Karena y'' > 0, maka titik (2, -4) adalah minimum lokal.

4.  **Perilaku Fungsi:**
    - Saat x mendekati positif tak hingga (x \u2192 \u221E), x^3 akan mendominasi, sehingga y \u2192 \u221E.
    - Saat x mendekati negatif tak hingga (x \u2192 -\u221E), x^3 akan mendominasi, sehingga y \u2192 -\u221E.

5.  **Sketsa Grafik:**
    Berdasarkan analisis di atas, kita dapat membuat sketsa grafik:
    - Grafik melewati (0, 0) yang merupakan maksimum lokal.
    - Grafik menurun dari (0, 0) ke titik minimum lokal di (2, -4).
    - Grafik kemudian naik lagi dari (2, -4) dan melewati titik (3, 0).
    - Di sebelah kanan (x > 3), grafik terus naik menuju tak hingga.
    - Di sebelah kiri (x < 0), grafik datang dari negatif tak hingga dan naik menuju maksimum lokal di (0, 0).

Sketsa akan menunjukkan sebuah kurva berbentuk 'S' yang melengkung, dimulai dari kuadran III, naik ke (0,0), turun ke (2,-4), lalu naik lagi melewati (3,0) ke kuadran I.