Buktikan bahwa:

Identitas terbukti dengan menggunakan identitas penjumlahan/pengurangan sinus dan kosinus pada sisi kiri, yang menghasilkan tan(2x+2y), dan identitas penjumlahan tangen pada sisi kanan, yang juga menghasilkan tan(2x+2y).

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri:
(sin(2x+3y)+sin(2x+y))/(cos(2x+3y)+cos(2x+y))=(tan 2x+tan 2y)/(1-tan 2x tan 2y)

Kita akan menggunakan identitas penjumlahan dan pengurangan untuk sinus dan kosinus:
sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)
cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)

Dan identitas penjumlahan tangen:
tan(A+B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)

Mari kita fokus pada sisi kiri persamaan:
Sisi Kiri = (sin(2x+3y)+sin(2x+y))/(cos(2x+3y)+cos(2x+y))

Dengan A = 2x+3y dan B = 2x+y:
(A+B)/2 = ((2x+3y) + (2x+y))/2 = (4x+4y)/2 = 2x+2y
(A-B)/2 = ((2x+3y) - (2x+y))/2 = (2y)/2 = y

Menerapkan identitas penjumlahan sinus dan kosinus:
Sisi Kiri = [2 sin(2x+2y) cos(y)] / [2 cos(2x+2y) cos(y)]

Kita bisa membatalkan 2 dan cos(y) (dengan asumsi cos(y) ≠ 0):
Sisi Kiri = sin(2x+2y) / cos(2x+2y)
Sisi Kiri = tan(2x+2y)

Sekarang, mari kita lihat sisi kanan persamaan:
Sisi Kanan = (tan 2x + tan 2y) / (1 - tan 2x tan 2y)

Menurut identitas penjumlahan tangen, jika kita menganggap A = 2x dan B = 2y, maka:
Sisi Kanan = tan(2x + 2y)

Karena Sisi Kiri = tan(2x+2y) dan Sisi Kanan = tan(2x+2y), maka kedua sisi sama.

Jadi, terbukti bahwa (sin(2x+3y)+sin(2x+y))/(cos(2x+3y)+cos(2x+y))=(tan 2x+tan 2y)/(1-tan2x tan 2y)