Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku:

Pernyataan terbukti benar untuk setiap bilangan asli n menggunakan metode induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = [1/2n(n+1)]² untuk setiap bilangan asli n, kita akan menggunakan metode induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
Sisi Kiri = 1³ = 1
Sisi Kanan = [1/2 * 1 * (1+1)]² = [1/2 * 1 * 2]² = [1]² = 1
Karena Sisi Kiri = Sisi Kanan, pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu:
1³ + 2³ + 3³ + ... + k³ = [1/2k(k+1)]²

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1. Yaitu, kita perlu menunjukkan bahwa:
1³ + 2³ + 3³ + ... + k³ + (k+1)³ = [1/2(k+1)((k+1)+1)]²
1³ + 2³ + 3³ + ... + k³ + (k+1)³ = [1/2(k+1)(k+2)]²

Kita mulai dari sisi kiri persamaan untuk n = k+1 dan gunakan hipotesis induksi:
[1³ + 2³ + ... + k³] + (k+1)³ = [1/2k(k+1)]² + (k+1)³  (menggunakan hipotesis induksi)
= 1/4 k² (k+1)² + (k+1)³

Kita faktorkan (k+1)²:
= (k+1)² [1/4 k² + (k+1)]
= (k+1)² [1/4 k² + k + 1]

Sekarang, kita samakan penyebut di dalam kurung siku menjadi 4:
= (k+1)² [(k² + 4k + 4) / 4]
= (k+1)² (k+2)² / 4

Kita bisa menulis ulang ini sebagai:
= [ (k+1)(k+2) / 2 ]²
= [1/2(k+1)(k+2)]²

Ini sama dengan sisi kanan yang ingin kita buktikan untuk n = k+1.

Kesimpulan:
Karena pernyataan tersebut benar untuk n=1 (basis induksi) dan jika pernyataan tersebut benar untuk n=k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1 (langkah induksi), maka berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = [1/2n(n+1)]² benar untuk setiap bilangan asli n.