Buktikan bahwa: 1/1+cos A+1/1-cos A=2 csc^2 A

Identitas terbukti benar dengan menyederhanakan sisi kiri menjadi 2/sin^2 A, yang sama dengan 2 csc^2 A.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri 1/1+cos A+1/1-cos A=2 csc^2 A, kita akan menyederhanakan sisi kiri persamaan dan menunjukkan bahwa hasilnya sama dengan sisi kanan.

Sisi kiri: 1/(1+cos A) + 1/(1-cos A)

Untuk menjumlahkan kedua pecahan, kita samakan penyebutnya dengan mengalikan kedua pecahan dengan penyebut dari pecahan lainnya:
= [(1 * (1 - cos A)) / ((1 + cos A) * (1 - cos A))] + [(1 * (1 + cos A)) / ((1 - cos A) * (1 + cos A))]

Karena penyebutnya sekarang sama, kita bisa menjumlahkan pembilangnya:
= (1 - cos A + 1 + cos A) / ((1 + cos A) * (1 - cos A))

Sederhanakan pembilang:
= 2 / ((1 + cos A) * (1 - cos A))

Ingat bahwa (a+b)(a-b) = a^2 - b^2. Dalam kasus ini, a=1 dan b=cos A, jadi:
(1 + cos A) * (1 - cos A) = 1^2 - cos^2 A = 1 - cos^2 A

Kita tahu dari identitas trigonometri dasar bahwa sin^2 A + cos^2 A = 1, yang berarti 1 - cos^2 A = sin^2 A.
Jadi, penyebutnya menjadi sin^2 A.

Persamaan kita sekarang adalah:
= 2 / sin^2 A

Kita juga tahu bahwa cosecan (csc) adalah kebalikan dari sinus, yaitu csc A = 1/sin A. Oleh karena itu, csc^2 A = (1/sin A)^2 = 1/sin^2 A.

Substitusikan ini kembali ke persamaan:
= 2 * (1 / sin^2 A)
= 2 * csc^2 A

Karena sisi kiri telah disederhanakan menjadi 2 csc^2 A, yang sama dengan sisi kanan, maka identitas tersebut terbukti benar.