Buktikan bahwa rumusan berikut berlaku untuk semua n e A.

Rumus sigma jumlah kuadrat bilangan ganjil terbukti berlaku untuk semua n ∈ A menggunakan induksi matematika. Basis induksi diverifikasi untuk n=1, dan langkah induktif menunjukkan bahwa jika rumus berlaku untuk k, maka rumus juga berlaku untuk k+1.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa rumusan sigma ((2i-1)^2) dari i=1 sampai n sama dengan 1/3(4n^3-n), kita akan menggunakan induksi matematika.

**Langkah 1: Basis Induksi**
Kita perlu memverifikasi bahwa rumus tersebut berlaku untuk n = 1.

Sisi kiri (rumus sigma):
Σ_{i=1}^{1} (2i-1)^2 = (2(1)-1)^2 = (2-1)^2 = 1^2 = 1

Sisi kanan (rumus yang diberikan):
1/3 * (4(1)^3 - 1) = 1/3 * (4(1) - 1) = 1/3 * (4 - 1) = 1/3 * 3 = 1

Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan (1 = 1), basis induksi terpenuhi.

**Langkah 2: Langkah Induktif**
Asumsikan bahwa rumus tersebut berlaku untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu:
Σ_{i=1}^{k} (2i-1)^2 = 1/3 * (4k^3 - k)  --- (Asumsi Induktif)

Sekarang, kita perlu membuktikan bahwa rumus tersebut juga berlaku untuk n = k + 1:
Σ_{i=1}^{k+1} (2i-1)^2 = 1/3 * (4(k+1)^3 - (k+1))

Mari kita mulai dengan sisi kiri dari pernyataan untuk n = k + 1:
Σ_{i=1}^{k+1} (2i-1)^2 = Σ_{i=1}^{k} (2i-1)^2 + (2(k+1)-1)^2

Gunakan Asumsi Induktif untuk mengganti suku pertama:
= [1/3 * (4k^3 - k)] + (2k + 2 - 1)^2
= [1/3 * (4k^3 - k)] + (2k + 1)^2

Jabarkan (2k + 1)^2:
= [1/3 * (4k^3 - k)] + (4k^2 + 4k + 1)

Sekarang, samakan penyebutnya untuk menjumlahkan kedua suku:
= (4k^3 - k)/3 + (3 * (4k^2 + 4k + 1))/3
= (4k^3 - k + 12k^2 + 12k + 3) / 3
= (4k^3 + 12k^2 + 11k + 3) / 3

Sekarang, mari kita lihat sisi kanan dari pernyataan untuk n = k + 1 dan coba manipulasi hingga sama dengan hasil di atas:
1/3 * (4(k+1)^3 - (k+1))

Jabarkan (k+1)^3:
(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1

Substitusikan kembali ke dalam rumus:
= 1/3 * [4(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) - (k+1)]
= 1/3 * [4k^3 + 12k^2 + 12k + 4 - k - 1]
= 1/3 * [4k^3 + 12k^2 + 11k + 3]
= (4k^3 + 12k^2 + 11k + 3) / 3

Karena sisi kiri dan sisi kanan sama setelah langkah induktif, maka rumus tersebut berlaku untuk semua n ∈ A.