Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathKalkulus

Buktikan bahwa rumusan berikut berlaku untuk semua n e A.

Pertanyaan

Buktikan bahwa rumusan berikut berlaku untuk semua n e A. sigma i=1 n (2i-1)^2=1^2+3^2+5^2+ ... +(2n-1)^2=1/3(4n^3-n)

Solusi

Verified

Rumus sigma jumlah kuadrat bilangan ganjil terbukti berlaku untuk semua n ∈ A menggunakan induksi matematika. Basis induksi diverifikasi untuk n=1, dan langkah induktif menunjukkan bahwa jika rumus berlaku untuk k, maka rumus juga berlaku untuk k+1.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa rumusan sigma ((2i-1)^2) dari i=1 sampai n sama dengan 1/3(4n^3-n), kita akan menggunakan induksi matematika. **Langkah 1: Basis Induksi** Kita perlu memverifikasi bahwa rumus tersebut berlaku untuk n = 1. Sisi kiri (rumus sigma): Σ_{i=1}^{1} (2i-1)^2 = (2(1)-1)^2 = (2-1)^2 = 1^2 = 1 Sisi kanan (rumus yang diberikan): 1/3 * (4(1)^3 - 1) = 1/3 * (4(1) - 1) = 1/3 * (4 - 1) = 1/3 * 3 = 1 Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan (1 = 1), basis induksi terpenuhi. **Langkah 2: Langkah Induktif** Asumsikan bahwa rumus tersebut berlaku untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu: Σ_{i=1}^{k} (2i-1)^2 = 1/3 * (4k^3 - k) --- (Asumsi Induktif) Sekarang, kita perlu membuktikan bahwa rumus tersebut juga berlaku untuk n = k + 1: Σ_{i=1}^{k+1} (2i-1)^2 = 1/3 * (4(k+1)^3 - (k+1)) Mari kita mulai dengan sisi kiri dari pernyataan untuk n = k + 1: Σ_{i=1}^{k+1} (2i-1)^2 = Σ_{i=1}^{k} (2i-1)^2 + (2(k+1)-1)^2 Gunakan Asumsi Induktif untuk mengganti suku pertama: = [1/3 * (4k^3 - k)] + (2k + 2 - 1)^2 = [1/3 * (4k^3 - k)] + (2k + 1)^2 Jabarkan (2k + 1)^2: = [1/3 * (4k^3 - k)] + (4k^2 + 4k + 1) Sekarang, samakan penyebutnya untuk menjumlahkan kedua suku: = (4k^3 - k)/3 + (3 * (4k^2 + 4k + 1))/3 = (4k^3 - k + 12k^2 + 12k + 3) / 3 = (4k^3 + 12k^2 + 11k + 3) / 3 Sekarang, mari kita lihat sisi kanan dari pernyataan untuk n = k + 1 dan coba manipulasi hingga sama dengan hasil di atas: 1/3 * (4(k+1)^3 - (k+1)) Jabarkan (k+1)^3: (k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 Substitusikan kembali ke dalam rumus: = 1/3 * [4(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) - (k+1)] = 1/3 * [4k^3 + 12k^2 + 12k + 4 - k - 1] = 1/3 * [4k^3 + 12k^2 + 11k + 3] = (4k^3 + 12k^2 + 11k + 3) / 3 Karena sisi kiri dan sisi kanan sama setelah langkah induktif, maka rumus tersebut berlaku untuk semua n ∈ A.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Barisan Dan Deret
Section: Induksi Matematika

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...