Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11Kelas 10mathAljabar

Penyelesaian pertidaksamaan |x+3|>x-2 adalah . . . .

Pertanyaan

Penyelesaian pertidaksamaan |x+3|>x-2 adalah . . . .

Solusi

Verified

Semua bilangan real

Pembahasan

Pertidaksamaan yang diberikan adalah |x+3| > x-2. Kita perlu mempertimbangkan dua kasus: Kasus 1: x+3 ≥ 0, yaitu x ≥ -3 Dalam kasus ini, |x+3| = x+3. Pertidaksamaan menjadi x+3 > x-2, yang menyederhanakan menjadi 3 > -2. Pernyataan ini selalu benar. Jadi, semua nilai x yang memenuhi kondisi x ≥ -3 adalah solusi untuk kasus ini. Kasus 2: x+3 < 0, yaitu x < -3 Dalam kasus ini, |x+3| = -(x+3) = -x-3. Pertidaksamaan menjadi -x-3 > x-2. Menyusun ulang pertidaksamaan: -x - x > -2 + 3 -2x > 1 x < -1/2 Kita perlu menggabungkan kondisi ini dengan kondisi kasus 2, yaitu x < -3. Irisan dari x < -1/2 dan x < -3 adalah x < -3. Menggabungkan solusi dari kedua kasus: Kasus 1 memberikan solusi x ≥ -3. Kasus 2 memberikan solusi x < -3. Perlu diperhatikan bahwa pada Kasus 1, kita mengasumsikan x ≥ -3, dan penyelesaiannya adalah x ≥ -3. Pada Kasus 2, kita mengasumsikan x < -3, dan penyelesaiannya adalah x < -3. Mari kita periksa kembali langkah-langkahnya. Ada kesalahan dalam penarikan kesimpulan akhir. Pertidaksamaan |x+3| > x-2. Kita pisahkan menjadi dua kemungkinan: 1) x+3 > x-2 dan x+3 ≥ 0 3 > -2 (selalu benar) x ≥ -3 Jadi, untuk kasus ini solusinya adalah x ≥ -3. 2) -(x+3) > x-2 dan x+3 < 0 -x-3 > x-2 -3+2 > x+x -1 > 2x x < -1/2 Dan dari kondisi awal x+3 < 0, maka x < -3. Jadi, irisan dari x < -1/2 dan x < -3 adalah x < -3. Sekarang kita gabungkan hasil dari kedua kasus tersebut. Solusi dari kasus 1 adalah x ≥ -3. Solusi dari kasus 2 adalah x < -3. Seharusnya tidak ada kesalahan dalam penalaran. Namun, mari kita uji titik untuk memastikan. Jika x = -4 (memenuhi x < -3): |-4+3| > -4-2 => |-1| > -6 => 1 > -6 (Benar) Jika x = 0 (memenuhi x ≥ -3): |0+3| > 0-2 => |3| > -2 => 3 > -2 (Benar) Jika x = -2 (memenuhi x ≥ -3): |-2+3| > -2-2 => |1| > -4 => 1 > -4 (Benar) Mari kita cek kembali penyederhanaan di kasus 2. -(x+3) > x-2 -x - 3 > x - 2 -3 + 2 > x + x -1 > 2x x < -1/2 Kondisi untuk kasus 2 adalah x < -3. Maka kita perlu irisan dari x < -1/2 dan x < -3, yaitu x < -3. Sepertinya ada kesalahpahaman dalam menggabungkan hasil. Sebenarnya, kita perlu mempertimbangkan semua x yang memenuhi salah satu dari dua skenario: Skenario 1: x+3 ≥ 0 dan x+3 > x-2 x ≥ -3 dan 3 > -2 (selalu benar) Irisannya adalah x ≥ -3 Skenario 2: x+3 < 0 dan -(x+3) > x-2 x < -3 dan -x-3 > x-2 x < -3 dan -1 > 2x x < -3 dan x < -1/2 Irisannya adalah x < -3 Jika kita menggabungkan kedua skenario ini, yaitu (x ≥ -3) ATAU (x < -3), maka solusinya adalah semua bilangan real. Namun, ini sepertinya terlalu sederhana dan mungkin ada kesalahan dalam pemahaman soal atau langkah penyelesaian. Mari kita coba metode lain: kuadratkan kedua sisi. Karena x-2 bisa negatif, kita harus berhati-hati. Jika x-2 < 0 (yaitu x < 2), maka |x+3| > x-2 selalu benar karena |x+3| selalu non-negatif. Jadi, untuk x < 2, pertidaksamaan ini berlaku. Jika x-2 ≥ 0 (yaitu x ≥ 2), maka kedua sisi positif. Kita bisa kuadratkan: (x+3)² > (x-2)² x² + 6x + 9 > x² - 4x + 4 6x + 9 > -4x + 4 6x + 4x > 4 - 9 10x > -5 x > -1/2 Kita perlu menggabungkan kondisi x ≥ 2 dengan x > -1/2. Irisannya adalah x ≥ 2. Sekarang, kita gabungkan hasil dari kedua kasus: Kasus 1: x < 2 memberikan solusi untuk semua x < 2. Kasus 2: x ≥ 2 memberikan solusi x ≥ 2. Jadi, gabungan dari kedua kasus tersebut adalah semua bilangan real (x < 2) ∪ (x ≥ 2) = semua bilangan real. Jawaban akhirnya adalah semua bilangan real.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Section: Konsep Dasar Pertidaksamaan Nilai Mutlak, Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Apakah jawaban ini membantu?