Buktikan bahwa sudut antara dua garis singgung melalui

Terbukti bahwa sudut antara dua garis singgung adalah pi/2 karena hasil kali gradiennya adalah -1.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa sudut antara dua garis singgung melalui O(0,0) pada lingkaran (x-7)^2+(y+1)^2=25 adalah pi/2, kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:
1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran. Persamaan lingkaran (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 memiliki pusat (h,k) dan jari-jari r. Dari persamaan (x-7)^2+(y+1)^2=25, pusat lingkaran adalah O'(7, -1) dan jari-jarinya adalah r = sqrt(25) = 5.
2. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik O(0,0). Misalkan persamaan garis yang melalui O(0,0) adalah y = mx. Substitusikan y = mx ke dalam persamaan lingkaran:
(x-7)^2 + (mx+1)^2 = 25
x^2 - 14x + 49 + m^2x^2 + 2mx + 1 = 25
(1+m^2)x^2 + (2m-14)x + 25 = 0
Agar garis y = mx menyinggung lingkaran, diskriminan (D) dari persamaan kuadrat ini harus sama dengan nol (D=0).
D = b^2 - 4ac = (2m-14)^2 - 4(1+m^2)(25) = 0
4m^2 - 56m + 196 - 100 - 100m^2 = 0
-96m^2 - 56m + 96 = 0
Bagi dengan -8: 12m^2 + 7m - 12 = 0
3. Cari gradien (m) dari kedua garis singgung. Gunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai m:
m = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
m = [-7 ± sqrt(7^2 - 4(12)(-12))] / 2(12)
m = [-7 ± sqrt(49 + 576)] / 24
m = [-7 ± sqrt(625)] / 24
m = [-7 ± 25] / 24
Jadi, gradien m1 = (-7 + 25) / 24 = 18 / 24 = 3/4, dan gradien m2 = (-7 - 25) / 24 = -32 / 24 = -4/3.
4. Periksa sudut antara dua garis singgung. Dua garis dikatakan tegak lurus jika hasil kali gradiennya adalah -1. Hitung hasil kali m1 * m2:
m1 * m2 = (3/4) * (-4/3) = -12/12 = -1.
Karena hasil kali gradien kedua garis singgung adalah -1, maka kedua garis singgung tersebut tegak lurus satu sama lain. Ini berarti sudut yang dibentuk oleh kedua garis singgung adalah 90 derajat atau pi/2 radian. Dengan demikian, terbukti bahwa sudut antara dua garis singgung melalui O(0,0) pada lingkaran (x-7)^2+(y+1)^2=25 adalah pi/2.