Buktikan bahwa x-y adalah faktor dari x^(n)-y^(n) untuk

Dengan induksi matematika, terbukti bahwa x-y adalah faktor dari x^n - y^n untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan

Kita akan membuktikan bahwa x-y adalah faktor dari x^n - y^n untuk semua bilangan bulat positif n menggunakan induksi matematika.

Langkah Basis (n=1):
Untuk n=1, kita perlu membuktikan bahwa x-y adalah faktor dari x^1 - y^1, yaitu x-y.
Ini jelas benar karena x-y adalah x-y itu sendiri.

Langkah Induktif:
Asumsikan bahwa x-y adalah faktor dari x^k - y^k untuk suatu bilangan bulat positif k. Artinya, kita dapat menulis x^k - y^k = (x-y)P(x,y) untuk suatu polinomial P(x,y).

Sekarang, kita perlu membuktikan bahwa x-y juga merupakan faktor dari x^(k+1) - y^(k+1).
Kita gunakan identitas yang diberikan:
x^(k+1) - y^(k+1) = x^k(x-y) + (x^k - y^k)y

Berdasarkan asumsi induktif, kita tahu bahwa x^k - y^k = (x-y)P(x,y).
Substitusikan ini ke dalam persamaan di atas:
x^(k+1) - y^(k+1) = x^k(x-y) + [(x-y)P(x,y)]y
x^(k+1) - y^(k+1) = x^k(x-y) + y(x-y)P(x,y)

Kita dapat mengeluarkan faktor (x-y) dari kedua suku:
x^(k+1) - y^(k+1) = (x-y)[x^k + yP(x,y)]

Karena [x^k + yP(x,y)] adalah suatu polinomial (karena x^k adalah polinomial dan P(x,y) adalah polinomial), ini menunjukkan bahwa x-y adalah faktor dari x^(k+1) - y^(k+1).

Kesimpulan:
Berdasarkan prinsip induksi matematika, x-y adalah faktor dari x^n - y^n untuk semua bilangan bulat positif n.