Buktikan kebenaran sifat-sifat berikut! Sisa pembagian suku

Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x-k) adalah f(k) dibuktikan dengan menggunakan definisi pembagian suku banyak dan mensubstitusikan x=k.

Pembahasan

Sifat-sifat pembagian suku banyak menyatakan bahwa ketika sebuah suku banyak f(x) dibagi oleh (x-k), maka sisa pembagiannya adalah f(k). Untuk membuktikan kebenaran sifat ini, kita dapat menggunakan definisi pembagian suku banyak.

Menurut definisi pembagian suku banyak, jika f(x) dibagi oleh pembagi d(x) yang berderajat n, maka akan menghasilkan hasil bagi h(x) dan sisa pembagian s(x), di mana derajat s(x) lebih kecil dari derajat d(x). Hubungannya dapat ditulis sebagai:

f(x) = d(x) * h(x) + s(x)

Dalam kasus ini, pembaginya adalah (x-k). Pembagi ini berderajat 1. Maka, sisa pembagian s(x) harus berderajat lebih kecil dari 1, yang berarti s(x) adalah sebuah konstanta. Kita dapat menuliskannya sebagai s(x) = S.

Sehingga, persamaan pembagian menjadi:

f(x) = (x-k) * h(x) + S

Untuk membuktikan bahwa S = f(k), kita substitusikan x = k ke dalam persamaan di atas:

f(k) = (k-k) * h(k) + S
f(k) = (0) * h(k) + S
f(k) = 0 + S
f(k) = S

Ini menunjukkan bahwa sisa pembagian (S) memang sama dengan nilai suku banyak ketika x digantikan oleh k (yaitu f(k)).

Jadi, terbukti bahwa sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x-k) adalah f(k).