Buktikan persamaan di bawah ini. sin a+2sin 2a+sin 3a=4sin

Terbukti.

Pembahasan

Untuk membuktikan persamaan sin a + 2sin 2a + sin 3a = 4sin 2a cos^2(a/2), kita akan menggunakan identitas trigonometri.

Langkah 1: Gunakan identitas penjumlahan sudut untuk sin 3a dan sin a.
Identitas yang relevan adalah:
sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B

sin 3a = sin(2a + a) = sin 2a cos a + cos 2a sin a
sin a = sin(2a - a) = sin 2a cos a - cos 2a sin a

Jumlahkan kedua persamaan tersebut:
sin 3a + sin a = (sin 2a cos a + cos 2a sin a) + (sin 2a cos a - cos 2a sin a)
sin 3a + sin a = 2 sin 2a cos a

Langkah 2: Substitusikan hasil ini kembali ke persamaan awal.
Persamaan menjadi: (2 sin 2a cos a) + 2 sin 2a = 4 sin 2a cos^2(a/2)

Langkah 3: Faktorkan sin 2a dari sisi kiri.
2 sin 2a (cos a + 1) = 4 sin 2a cos^2(a/2)

Langkah 4: Gunakan identitas sudut ganda untuk cos a dan identitas setengah sudut.
Identitas sudut ganda: cos a = 2 cos^2(a/2) - 1.
Gantilah cos a dalam persamaan:
2 sin 2a ( (2 cos^2(a/2) - 1) + 1 ) = 4 sin 2a cos^2(a/2)
2 sin 2a (2 cos^2(a/2)) = 4 sin 2a cos^2(a/2)
4 sin 2a cos^2(a/2) = 4 sin 2a cos^2(a/2)

Karena kedua sisi persamaan sama, maka persamaan tersebut terbukti benar.

Jadi, terbukti bahwa sin a + 2sin 2a + sin 3a = 4sin 2a cos^2(a/2).