Buktkan bahwa: lim->0 (tan x)/x=1

Menggunakan Teorema Apit atau Deret Taylor, \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1\).

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\) (yang mana \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\), sehingga \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}\)), kita dapat menggunakan beberapa metode, salah satunya adalah Teorema Apit (Squeeze Theorem) atau menggunakan deret Taylor.

**Metode 1: Menggunakan Teorema Apit (Squeeze Theorem)**

Metode ini melibatkan perbandingan luas sektor lingkaran dengan luas segitiga. Pertimbangkan sebuah lingkaran satuan (jari-jari = 1) dalam kuadran pertama.
1. Gambar sebuah segitiga OAP di dalam sektor lingkaran OAP, dimana O adalah pusat lingkaran, A adalah titik (1,0), dan P adalah titik pada lingkaran dengan sudut \(x\) (dalam radian) dari OA. Luas segitiga OAP = \(\frac{1}{2} \times alas \times tinggi = \frac{1}{2} \times 1 \times \sin x = \frac{1}{2} \sin x\).
2. Luas sektor lingkaran OAP = \(\frac{x}{2\pi} \times \pi r^2 = \frac{x}{2\pi} \times \pi (1)^2 = \frac{x}{2}\).
3. Gambar segitiga OAQ, dimana Q adalah titik (1, tan x). Luas segitiga OAQ = \(\frac{1}{2} \times alas \times tinggi = \frac{1}{2} \times 1 \times \tan x = \frac{1}{2} \tan x\).

Dari gambar, jelas bahwa:
Luas segitiga OAP ≤ Luas sektor OAP ≤ Luas segitiga OAQ
\(\frac{1}{2} \sin x \leq \frac{x}{2} \leq \frac{1}{2} \tan x\)

Kalikan semua bagian dengan \(\frac{2}{\sin x}\) (asumsikan \(x\) positif dan kecil, sehingga \(\sin x > 0\)):
\(1 \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{\tan x}{\sin x}\)
\(1 \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{\sin x / \cos x}{\sin x}\)
\(1 \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x}\)

Ambil kebalikan dari semua bagian dan balikkan tanda ketidaksamaan:
\(\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1\)

Karena \(\lim_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1\) dan \(\lim_{x \to 0} 1 = 1\), menurut Teorema Apit, \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\).

Sekarang, untuk \(\tan x\):
\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x / \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}\right)\)
Karena limit dari perkalian adalah perkalian dari limit (jika limitnya ada):
\(= \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\right) \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}\right)\)
\(= 1 \cdot \frac{1}{\cos 0}\)
\(= 1 \cdot \frac{1}{1}\)
\(= 1\)

**Metode 2: Menggunakan Deret Taylor (Ekspansi Maclaurin)**

Deret Taylor untuk \(\tan x\) di sekitar \(x=0\) adalah \(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots\)

Maka,
\(\frac{\tan x}{x} = \frac{x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots}{x}\)
\(\frac{\tan x}{x} = 1 + \frac{x^2}{3} + \frac{2x^4}{15} + \dots\)

Sekarang, ambil limit saat \(x \to 0\):
\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{x^2}{3} + \frac{2x^4}{15} + \dots\right)\)
\(= 1 + \frac{0^2}{3} + \frac{2(0)^4}{15} + \dots\)
\(= 1\)