Dengan menggunakan formula y=uv -> y=u'v+v'u, tentukan y'

y' = sec^3(2x) [6 tan(2x) sin^2(7x) + 14 sin(7x) cos(7x)]

Pembahasan

Untuk menentukan turunan dari fungsi y = sec^3(2x) sin^2(7x) menggunakan formula y=uv -> y'=u'v+v'u, kita perlu mengidentifikasi u dan v terlebih dahulu.

Misalkan u = sec^3(2x) dan v = sin^2(7x).

Selanjutnya, kita perlu mencari turunan dari u (u') dan turunan dari v (v').

Untuk u = sec^3(2x) = (sec(2x))^3:
Kita gunakan aturan rantai. Turunan dari (f(x))^n adalah n(f(x))^(n-1) * f'(x).
Di sini, f(x) = sec(2x) dan n = 3.
Turunan dari sec(u) adalah sec(u)tan(u)u'.
Jadi, turunan dari sec(2x) adalah sec(2x)tan(2x) * 2 = 2 sec(2x) tan(2x).

Maka, u' = 3(sec(2x))^2 * (2 sec(2x) tan(2x)) = 6 sec^3(2x) tan(2x).

Untuk v = sin^2(7x) = (sin(7x))^2:
Kita gunakan aturan rantai lagi.
Turunan dari (f(x))^n adalah n(f(x))^(n-1) * f'(x).
Di sini, f(x) = sin(7x) dan n = 2.
Turunan dari sin(u) adalah cos(u)u'.
Jadi, turunan dari sin(7x) adalah cos(7x) * 7 = 7 cos(7x).

Maka, v' = 2(sin(7x))^1 * (7 cos(7x)) = 14 sin(7x) cos(7x).

Sekarang kita masukkan u, u', v, dan v' ke dalam formula y' = u'v + v'u:

y' = [6 sec^3(2x) tan(2x)] * [sin^2(7x)] + [14 sin(7x) cos(7x)] * [sec^3(2x)]

y' = 6 sec^3(2x) tan(2x) sin^2(7x) + 14 sec^3(2x) sin(7x) cos(7x)

Kita bisa memfaktorkan keluar sec^3(2x):
y' = sec^3(2x) [6 tan(2x) sin^2(7x) + 14 sin(7x) cos(7x)]